简介

相位是波光学和量子力学中最重要的参数之一。干涉仪中两个光场之间的相对相位在量子力学中处于叠加态是非常重要的，因为许多物理量的动态变化，包括位移、温度、电场和磁场，都可以转化为光场之间的相对相位或波函数的变化1，2，3.，4，5，6．因此，大多数高精度的测量任务都可以转化为对特定物理过程中相位变化的测量，而放大相位的方法对于提高计量操作中的相位测量分辨率是非常重要的。

量子光学中一种著名的实现相位放大的方法是基于被称为NOON的多光子数和路径纠缠态(\(左\ | {N:: 0} \ \纠正= \左右({\左| {N0} \ \纠正_ {AB} + \左右| {0 N} \右\捕杀_ {AB}} \右)/ \√2 \))，其中包含N不可区分的粒子处于相等的叠加状态，所有粒子都在任意一条路径上一个或B1．对于NOON态的干扰，相位振荡为N比单个光子快一倍，因为有效N-光子德布罗意波长为\ \(λ/ N \)，这将导致高精度测量的相位超分辨率7．

虽然NOON态可以用于相位放大和精密计量应用，但制备高光子数的NOON态非常困难;这是迄今为止准备的NOON状态的最高数量8大约10岁。此外，检测概率很低N是很大的，高光子数的NOON状态对光子所经历的任何光学损失都非常敏感。因此，确定另一种比使用NOON态更鲁棒的相位放大方法是非常重要的。

本文提出并实验证明了一种基于谐波产生过程辅助的相位放大新方案。在该方案中，基于级联二次谐波产生(SHG)过程，偏振干涉仪中两个偏振模之间的相对相位被相干放大4倍。此外，我们还通过实验证明，相位放大不取决于激光频率的变化，即使通过差频产生(DFG)过程将二次谐波频率转换回基频，相位放大仍然可以工作，因此，SHG-DFG循环方案可以获得更高的放大水平。

我们提出的相位放大器是在三波混合过程(TWM)的协助下实现的，例如SHG，和频产生(SFG)或DFG。在TWM中，从微观角度看，两个光子的湮灭有助于创造一个新的光子。相互作用哈密顿量可以表示为9

$ $ \帽子H_ {{{{\ mathrm{滚开 }}}}}={{{\ mathrm{我}}}}\百巴\ kappa \离开({\帽子a_1 \帽子a₂\帽子a_3 ^ + - \帽子a_1 ^ + \帽子a₂^ + \帽子a_3} \右)$ $
(1）

在哪里\(\ \)帽子a_i而且\(\hat a_i^ +\)\(\左({i = 1,2,3} \右)\)分别表示三个相互作用光子的湮灭和创造算符;此外,\ (\ kappa \)是否有一个常数与二阶磁化率成正比\(\chi ^{\左(2 \右)}\)，泵浦功率等非线性晶体的实验参数。在SHG过程中，一个基本波长的两个光子的湮灭产生一个第二谐波波长的光子;这个简单的交互过程将导致新的元素被用来操纵光的不同方面。

这一过程的灵感来自于我们之前的工作，我们实现了光携带叠加轨道角动量模的SHG10；在这项工作中，我们证明了光携带的轨道角动量在SHG过程后翻了一番，还发现在SHG中重叠的轨道角动量模式之间的相对相位也翻了一番(见Eq. (3.)。10)．于是，两个基本问题自然出现了:这种相位加倍效应能否推广到其他自由度下的光学叠加模式，如偏振和光程?使用级联TWM过程可以实现更高的相位放大吗?在这两种情况下，我们对这些问题的回答都是“是”，在下面的文本中，我们将说明该方案的基本思想，并给出详细的原理证明实验演示。

数字1显示了这个工作的主要概念的图形摘要。数字1线性马赫-曾德尔干涉仪(MZI)的原理图。1 b给出了基于SHG的非线性MZI。如果我们假设两个干涉仪在基波长处引入相同的相位差，那么非线性MZI中干涉条纹的变化速度是线性MZI中干涉条纹变化速度的两倍。在波光学中，这些线性和非线性mzi输出端口的干涉场可以表示为:

$ $ E_ {{{\ mathrm {L}}}} \离开(ω\ \右)= E_1 \离开(ω\ \右)+ e ^ {{{{\ mathrm{我}}}}\φ\离开(ω\ \右)}E_2 \(\ω\右)$ $
（2）
$ $ E_ {{{{\ mathrm{问}}}}}\离开({2ω\}\右)= E_1 \离开({2ω\}\右)+ e ^ {{{{\ mathrm{我}}}}φ2 \ \离开(ω\ \右)+ {{{\ mathrm{我}}}}\φδ\ \离开({2ω\}\右)}E_2 \离开({2ω\}\右)$ $
（3）

在哪里\(E_1\左(\omega \右)\)而且\(E_2\左(\omega \右)\)这两个叠加的光场在分束器处，和\(\Phi \左(\ omega \右)\)是这两个场在基波波长处的相位差。\(E_1\左({2\omega} \右)\)而且\(E_2\左({2\omega} \右)\)分束器处两个叠加的SHG光场，SHG光与两个基本光的关系由\(E_1\left({2\omega} \right) \propto E_1\left(\omega \right)^2\)而且\(E_2\left({2\omega} \right) \propto E_2\left(\omega \right)^2\)分别;而且\(\Delta \Phi \左({2\omega} \右)\)为SHG光束之间的相位差。如果非线性干涉仪包含nth则非线性MZI的输出场可表示为:

$ $ E_ {{{{\ mathrm{问}}}}}\离开({nω\}\右)= E_1 \离开({nω\}\右)+ e ^ {{{{\ mathrm{我}}}}n \φ\离开(ω\ \右)+ {{{\ mathrm{我}}}}\φδ\ \离开({nω\}\右)}E_2 \离开({nω\}\右)$ $
（4）

在哪里\(E_1\左({n\omega} \右)\)而且\(E_2\左({n\omega} \右)\)这两个是重叠的吗nth分束器上的谐波光场，以及它们之间的关系nth谐波光束和基本光束由\(E_1\left({n\omega} \right) \propto E_1\left(\omega \right)^n\)而且\(E_2\left({n\omega} \right) \propto E_2\left(\omega \right)^n\),分别。\(\Delta \Phi \左({n\omega} \右)\)表示总相位差，其中包含从第2次到第2次的谐波光束的相位差nth。这些相位差是由于两种偏振模通过非线性晶体、波片、偏振分束器等不同光学元件时的色散不同造成的，在实验过程中可以保持恒定。通过假设左(\ \ (E_1 \ω\右)= E_2 \左ω(\ \)\)方程式。（3.)及(4)清楚地表明相位差\(\Phi \左(\ omega \右)\)引入的基束被放大到\(n\Phi \左(\omega \右)\)光强由\ (I_1 \离开({nω\}\)\左\{{1 + \因为\离开[{n \φ\离开(ω\ \右)+φδ\ \ \离开({nω\}\右)}\右]}\右\}\)．依赖于\(n\Phi \左(\omega \右)\)而不是\(\Phi \左(\ omega \右)\)相位超分辨率:一个周期的\ (I_ {{{{\ mathrm{问}}}}}\离开({nω\}\)\)意味着相位差的变化小于一个周期\(I_{{{\mathrm{L}}}}\左(\omega \右)\)1．

图1:干涉仪结构示意图。
图1

一个MZI。b非线性MZI。c非线性偏振干涉仪。d相倍频不倍频配置

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在无花果。1 c，用偏振迈克尔逊干涉仪代替MZI，其工作方式与图中的系统类似。1 b，但用实验实现要容易得多。对于图中的方案。1 c，\(\Phi \左(\ omega \右)\)在Eq. (3.)可通过调制器或压电换能器控制迈克尔逊干涉仪中的臂差进行调节，而\(\Delta \Phi \左({2\omega} \右)\)是一个包含MZI中产生的所有相位差的常数。

为了证明相位放大与频率无关，我们提出并实验证明了如图所示的方案。1 d．在该方案中，在MZI的单臂中插入一个能使相位加倍但不改变频率的SHG-DFG模块，实现对MZI的频率转换ω\ (\ \)来ω\ (2 \ \)在SHG过程和从ω\ (2 \ \)回ω\ (\ \)在DFG过程中。输出端口处的干扰场可以表示为

$ $ E_ {{{{\ mathrm{问}}}}}\离开(ω\ \右)= E_1 \离开(ω\ \右)+ e ^ {{{{\ mathrm{我}}}}φ2 \ \离开(ω\ \右)+ {{{\ mathrm{我}}}}\φδ\ \离开({2ω\}\右)}E_2 \(\ω\右)$ $
（5）

在不改变频率的情况下，将相位差放大2倍，说明相位放大与频率无关。此外，如果SHG和DFG的非线性转换效率足够高，则输出光可以进入另一个SHG-DFG模块，实现4倍相位放大。考虑到非线性转换效率依赖于激光强度，如果使用高强度激光，该方案可以级联更多次，以实现更高的相位差放大水平。补充资料中描述了一些可用于实现高扩增水平的其他回收方法。

结果

为了实现SHG光束的干涉，可以使用带有非线性晶体的Sagnac环来构造相倍模11或者正交放置的非线性晶体12．这两种方法在相位差稳定性方面优于MZI方法，因为两个偏振分量通过相同的路径传输。在我们的实验中，Sagnac环和正交放置的晶体级联实现了两束四次谐波(FH)光束的干涉，从而证明了相位差的测量分辨率提高了4倍。

我们使用中心波长为1560 nm的飞秒脉冲激光器作为基频光源对两个级联SHG模块进行泵浦，如图所示。2．实验设置的全部细节在方法一节中总结。基束、SH束和跳h束的干涉结果如图所示。3得了,分别。的y图中的-轴。3.表示测量的光功率和x-axis表示光程差(OPD)的变化。如图所示。3.，与基本干涉曲线相比，SH和跳h光束干涉曲线的周期分别缩小到1/2和1/4，表明干涉曲线的一个周期对应的相位差2π分别被放大到4π和8π。因此，这些结果清楚地表明，SHG和FHG对基束的相位差分别提高了两倍和四倍。

图2:实验设置示意图。
图2

HWP半波片、QWP四分之一波片、DHWP 1560 nm/780 nm二向色HWP、PBS偏振分束器、DPBS二向色PBS、M镀银镜、T平移台、PZT压电换能器、DM二向色镜、BPF 390-10 nm带通滤波器、PPLN周期性极化铌酸锂晶体、BBO β-硼酸钡晶体、S小孔、P偏光器、IR OPM红外光功率计、VIS OPM可见光光功率计、L透镜、L1和L3镜头用于聚焦，L2和L4镜头用于准直，L1 - L4镜头的焦距分别为200mm、200mm、50mm和100mm

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图3:干涉后光功率对光径变化的依赖关系。
图3

一个基本光;bSH淡定;c跳频光

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值得注意的是，图中所示的三个opd。3得了均来自同一台迈克尔逊干涉仪，其中光的中心波长始终为1560 nm。虽然观测到的相位加倍伴随着频率加倍，但后者并不是前者发生的原因。

为了证明观察到的相倍与工作波长无关，我们进行了DFG过程，将波长为780 nm的光转换回1560 nm，从而验证相倍仍然存在。由于SHG和DFG后的输出光与原始输入光具有相同的波长，因此在干涉仪的单臂上同时实现SHG和DFG可以实现相位倍倍。在实验中，DFG过程是ii型(yzy) SHG的逆过程;所使用的设置如图所示。4．我们假设经过迈克尔逊干涉仪后，水平偏振光和垂直偏振光的状态为\(左\ |{\φ_1 \ω{{{\ mathrm {H}}}}} \ \纠正\)而且\(左\ |{\φ_2,ω\ {{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)，分别为\ \(φ_1 \)而且\(φ_2 \ \)表示初始相位，这取决于两个干涉仪臂的长度。后SHG，状态\(左\ |{2 _2 \φ2ω\ {{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)由\(左\ |{\φ_2,ω\ {{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)．用二色镜(DM)将不同波长(1560nm和780 nm)的光分离成不同的路径。在1560 nm光的路径中，使用偏振分束器滤除状态\(左\ |{\φ_2,ω\ {{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)．剩下的两个州，\(左\ |{2 _2 \φ2ω\ {{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)而且\(左\ |{\φ_1 \ω{{{\ mathrm {H}}}}} \ \纠正\)，然后组合起来执行DFG操作和状态\(左\ |{2 \φ_2 - \φ_1 \ω{{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)是生成的。最后，利用偏振迈克尔逊干涉仪补偿偏振模色散引起的光差，并利用偏振光片产生偏振光干涉\(左\ |{2 \φ_2 - \φ_1 \ω{{{\ mathrm {V}}}}} \ \纠正\)而且\(左\ |{\φ_1 \ω{{{\ mathrm {H}}}}} \ \纠正\)．干扰结果取决于相位差\(2\左({\phi _2 - \phi _1} \右)\)，与原来的相位差相比翻了一番\(\phi _2 - \phi _1\)．数据如图所示。4 b确认相位差翻倍。

图4:实验设置和结果。
图4

一个实验装置用于相位倍增(PD)而不增加频率。SPF: 1000nm短通滤波器;LPF: 1400nm长通滤波器;FC:纤维准直器;CH22:密集波分复用系统的第22通道，中心波长为1559.79 nm。b测量了倍相前后干涉光功率特性

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讨论

总之，我们提出了一种有吸引力的方法，可以在干涉仪的TWM过程的辅助下实现光相位放大器。通过演示将干涉曲线的周期减少到原始周期的1/4，我们在光相位放大器中实现了4倍的相位差放大。这表明，任何使干涉曲线改变一个周期的东西，通过使用光相位放大器可以使干涉曲线改变4个周期，因此干涉仪的分辨率提高了4倍。我们相信在这项工作中提出的光相位放大器可以用于许多精密测量场景，如测量透明材料的光学特性(例如色散和吸收系数)13，14，如位移、角度、电场和磁场等其他物理量，这些物理量可以转换为光程长度的变化15或基于干涉的成像以增强图像分辨率16等。原则上，本实验提出的基于SHG的光相位放大器可以推广到高次谐波产生过程中17，18．

虽然在这里提出的实验中达到了4个最大相位放大，但补充材料中详细描述的SHG-DFG回收方案也提供了实现更高相位放大水平的潜力。在我们的实验中，由于泵浦功率低和带宽不匹配(两个输入光的带宽和晶体的接收带宽需要匹配，才能获得较高的DFG效率)，使得0.07%的FHG效率和~2%的DFG效率较低。幸运的是，在合适的实验条件下(使用高强度泵浦激光器和合适的晶体)，SHG和DFG的功率转换效率都可以提高到80%19，20.因此，原则上可以达到更高的相位放大水平。如果非线性过程的效率足够高，放大水平预计将超过使用NOON状态实现的最高放大水平。此外，本文提出的方法比基于NOON状态的方法具有更强的鲁棒性，因为后者在使用单光子探测器进行一致性测量时需要较长时间。在该工作中，高速光电二极管可用于实时测量，干涉曲线接近完美的正弦曲线，不需要误差棒和拟合，这对处理NOON状态的干涉结果很重要1，21，22．

我们认识到相位估计有各种各样的研究23，24，25，26．我们想澄清一下目前的工作与那些方案之间的明显差异。以往的文献主要关注非线性干涉仪中非经典光源的相位估计。由于产生的光源远低于非线性过程的阈值，且平均光子数非常小，因此这些工作研究了量子体系中的相位估计，可以达到海森堡极限(1/N)进行相位估计。此外，相位估计是基于单光子检测或零差检测的符合测量。而在我们的方案中，所有的光源都是激光，在非线性过程的阈值以上，平均光子数非常大，可以使用高速光电二极管测量干涉曲线，相位测量的极限为标准量子极限(\(1 / \√N \))．我们目前方案的显著特点是相位超分辨率:经过相位放大后，一个周期内光强的变化对应的相位差变化比相位放大前小得多。这里提出的工作将彻底改变我们对非线性干涉的理解，并可能为基于干涉的精密计量开辟新的途径。

材料与方法

FHG实验

实验装置的示意图如图所示。2．输入光是中心波长1560 nm的脉冲激光束，重复频率80 MHz，脉冲宽度150 fs。利用半波板(HWP)将线偏振光转换为45°偏振光，从而将输入光通过PBS平均分成两束正交的线偏振光。在迈克尔逊干涉仪的每个臂上，由镜面和1 / 4波片组成的组可将光束的偏振态转化为正交态10，使光从PBS的另一个端口离开干涉仪。镜子M1固定在一个平移台上，用于执行两个手臂之间的OPD的粗略调整。镜面M2固定在压电换能器(PZT)上，用于在3.5 μm范围内实现OPD的精细调整;PZT是用放大的三角波信号驱动的。

在第一个SHG模块中，使用了长度为5mm的周期性极化铌酸锂(PPLN)晶体。满足0型(zzz)准相位匹配条件的PPLN晶体只响应光的垂直偏振。在这里，插入二色HWP的Sagnac环被用来实现垂直和水平极化的SHG过程，这在我们之前的工作中已经演示过11．

在我们的实验中，每个臂的平均泵浦功率为135 mW，这是受飞秒激光器的最佳输出功率限制的;在每个偏振态下产生中心波长为780 nm、功率为30 mW的SH光。第二个SHG模组由两个正交胶合型-Ι (ooe)双折射相位匹配(BPM)型β-硼酸钡(BBO)晶体组成。每个BBO晶体厚度为0.5 mm，相位匹配角为~30°。两个780 nm的正交偏振光光束被两个正交放置的BBO晶体使频率翻倍。390 nm SH光的每个偏振态的光功率为95 μW。因此，两束正交偏振的1560 nm激光束可以通过级联两个shg连续倍频，得到的390 nm光可以认为是输入1560 nm激光束的FHG输出。

光通过45°偏振器后，可以观察到跳频正交偏振态的干涉。利用放大三角波驱动的PZT对迈克尔逊干涉仪的光参量进行扫描，用光功率计记录光功率的变化。当我们观测记录基频光或SH光的干涉时，分别插入镜面M3或M7，将光束与原光路分离;否则，这两个镜像不会出现在光路中。

脱硫实验

为了证明相位放大过程与工作波长无关，我们引入了DFG过程，如图所示。4．在这个实验中，我们使用了相同的迈克尔逊干涉仪配置和相同的PPLN晶体倍频使用在前面描述的FHG实验。在这里，没有使用Sagnac环，所以晶体只响应光的垂直偏振。DM1透射1560 nm光，反射780 nm光，而DM2则相反。用于DFG的晶体为ii型(yzy)周期性极化磷酸钛钾(PPKTP)晶体，长度为10 mm。利用PBS和短通滤波器(SPF)过滤掉1560 nm的光，从而抑制了来自差频光的背景噪声，提高了干扰的可见性。采用第二迈克尔逊干涉仪对偏振模色散引起的光差进行补偿。由于SHG和DFG后1560 nm光的光谱与原始光谱相比发生了变化，因此采用密集波分复用系统作为窄带滤波器(全宽半最大200ghz)，以提高干扰可见性。