介绍

严重急性呼吸系统综合症冠状病毒的大流行2 (SARS-CoV-2)仍将难以置信的压力强加于许多国家的医疗和经济系统。

国家在美国,欧洲,亚洲,非洲面临大量的死亡由于COVID 19日和持续危机情况。唯一的好消息在这黑暗的情况下,疫苗是可以从世界各地的不同的公司。一些国家目前正在评估开发疫苗的效力和有效性,而其他一些国家已经开始他们的疫苗接种运动。特别是,截至2021年11月,超过75%的人在加拿大这样的国家,英国和法国已收到至少一个剂量的疫苗,虽然没有35%以上的人在孟加拉国、几内亚、和亚美尼亚收到至少一剂1。这些例子给一个想法的异构的疫苗接种运动。此外,目前的研究表明一个腐烂的中和抗体反应在恢复期的病人2,以及减少mRNA COVID-19疫苗的有效性3。因此,疫苗可能提供一个短暂的免疫力。例如,比较的衰减速度由人类冠状病毒感染后的抗体反应(hCoV) SARS-CoV-2,有人建议,个人可能会变得容易再感染后12 - 18个月内先前感染2。同样,最近比较进化分析冠状病毒的亲属SRAS-CoV-2显示,在流行的情况下,再感染SARS-CoV-2可能发生在3个月抗体反应峰值和5.1年后,平均16个月4。

虽然大多数国家正在进行的大流行期间同意接种第一公共卫生人员和长期护理设施,有限的可用性的疫苗和物流复杂性仍摆出大问题在何时以及如何预防接种运动将会完成。最初,一些国家评估达到群体免疫在70%左右的人口接种疫苗5。随着时间的推移,一些障碍这一成就越来越明显6。这些困难在获得群体免疫可能进一步打击的人获得5。

现在发展中国家免疫计划面临的挑战分发数以百万计的疫苗,其中一些需要非常特殊的维护条件。这些计划包括优先计划开始分配过程的定义,因为很可能不是所有人将接种不同的原因,了解疫苗分配人口年龄段影响获得群体免疫是最重要的。

疫苗接种策略可以获得不同的目标,如开发减少死亡,减少数量的情况下,尽量减少严重需要住院治疗等。7。例如,在最近的一篇论文8,作者考虑五个不同的疫苗优先级策略。在他们的发现,表明,优先处理20 - 40岁的成年人最小化的累积发病率、死亡率是最小化优先到60岁之间的成年人。最近的另一篇文章9调查两个疫苗接种优先级标准基于年龄:生命救了和未来年的拯救。总的来说这两个标准可以在冲突,对于COVID-19,接种最古老最生活,同时也最大化节省年的剩余寿命。

在另一个疫苗接种方法10,作者调查了多少疫苗所需的任何国家,年复一年,创建群体免疫阻断SARS-CoV-2传播,假设免疫力是短暂的(免疫力减弱)。要回答这个问题,一个简单的模型显示在第一年的人口比例的流行病必须接种疫苗和比例必须接种疫苗一旦系统达到平衡几年后。结果表明,第一年更大比例的人口需要接种疫苗,被大多数人易感,而人口比例接种疫苗,在接下来的几年,创建有效的群体免疫。

实现群体免疫疫苗接种战略的研究被认为是几个传染病和多年11,12,13。特别是,疫苗接种计划旨在减少\ (R_0 \)被称为低于阈值1预防因为,一旦他们已经启动,偶尔介绍下不可能爆发禽流感疫情的新病例。随机爵士流行的永久免疫力,预防策略被认为是,例如,在14。然而,由于缺乏疫苗COVID-19大流行开始时,一些论文分析了非自治的可能性达到disease-induced群体免疫模型。在最近的一篇论文15,一个西珥模型开发评估抑制病毒传播的可行性,另外,实现群体免疫,通过社会距离来隔离不同的年龄组和时期感染症状的人。模型显示,获得群体免疫不超过医院能力并不是一个实际的目标,因为没有疫苗接种计划,需要在较长时间内保持社会距离和适应“精确不可行的方法”。几乎与此同时,第二个纸16采用了类似的方法来研究免疫水平,可以通过非药物干预措施。其目的是联系初预防措施实施的严重程度大小的大流行疫情出现后,这些措施被取消。在此设置中,表明,当焦点人口的年龄结构被认为是,群体免疫可以达到43%左右,而不是传统的价值的60%,基本的繁殖数量\ (R_0 = 2.5 \)在一个人口的均匀混合。在这两篇论文15,16,社会距离干预建模通过减少意味着最初联系的联系人数量矩阵。

在本文中,我们处理这个问题相关的挑战创造群体免疫SARS-CoV-2感染的预防与减弱免疫接种策略,考虑到年纪段的接触率。特别是,短暂的免疫力意味着持续的疫苗接种运动需要保护群体免疫力。因此,我们采用的假设达到无病平衡点(DFE)易感和接种疫苗的个体只是礼物10。然后,使用一个非自治Susceptible-Infected-Recovered-Vaccinated模型,我们首先推导出的表达式疫苗接种率导致最大的疫苗接种覆盖率在这个平衡对于一个给定的疫苗供应单位时间(总接种率)。接下来,如果\ (R ^ * _0 \)表示基本的繁殖数量在DFE接种疫苗的个体,我们计算每同龄组两组不同的疫苗接种率:(1)最小化的集合\ (R ^ * _0 \)总接种率的约束下的临界速度是一样的统一的疫苗接种,和(2)设置的最小值\ (R ^ * _0 \)= 0.996时,一个合适的(较低的)总数的疫苗接种率。

疫苗的供应有限的临界接种率下均匀混合,我们发现的价值\ (R ^ * _0 \)通过疫苗接种覆盖率最大化总是比最低的\ (R ^ * _0 \)相同的约束下实现总接种疫苗。后者的优化配置定义了以下年龄组中给定的疫苗供应。另一方面,因为这个最小值\ (R ^ * _0 \)将明显小于1,第二组的疫苗接种率(\ (R ^ * _0 = 0.996 \))将小于第一组,从而实现群体免疫力较低的疫苗供应。我们还证实,这些结果在考虑(1)成功率高但不完整的疫苗,和(2)为每个年龄段不同的免疫持续时间,依照观测与年龄相关的免疫系统下降,削弱了挂载能力有效疫苗的反应。这通常被称为“免疫衰老”17,18。

据我们所知,这是第一个研究的结合影响同龄组接触模式和短暂的疫苗免疫接种疫苗年龄组之间的优化配置。我们能够量化的重要性,具体通过减少接触模式在不同的国家\ (R ^ * _0 \)最优策略,结果年龄组接种疫苗时使用,而不是一个基于均匀分布的疫苗10。相比其他预防性疫苗接种策略,旨在最大化的疫苗接种覆盖率在给定的疫苗供应,最小化\ (R ^ * _0 \)对人均疫苗接种率的集合导致优惠目标最脆弱的人群,也就是说,那些高接触率。虽然个人目标高度连接的重要性减少病毒传播流行病学是众所周知的19,特别是在所谓的网络流行病学联系20.这是第一次,最小化的标准\ (R ^ * _0 \)用来找到最优的疫苗年龄组之间的分配。尽管我们知道测量的基础上得出的计算结果,因此噪声接触模式,我们的数学模型显示所发挥的重要作用,文章联系模式有效地管理疫苗和可用于鼓励人口看到可能的流感大流行的疫苗接种。

该模型

在本文中,我们考虑一个确定性的流行病模型与连续接种疫苗的个人在三个年龄段进行分类:年轻人,成年人和老年人(\ (i = 1、2、3 \)分别)。在每个年龄阶层、个人分类根据他们的疾病状态:易感,感染,恢复和接种疫苗。它假定失去免疫力恢复和接种疫苗的个体δ_i \ (\ \)和\(δ^ v_i \ \)(\ (i = 1、2、3 \)),分别。此外,正如前面提到的介绍,疫苗成功的概率防止感染被认为是年龄相关性,它用\ (p_i \)(\ (i = 1、2、3 \))。

感染的年龄组的数量我由于个人的年龄j是\(β\ \,c_ {ij} S_i I_j / N_j \),在那里\ (S_i \)在年龄段是易感个体的数量吗我,\ (I_j / N_j \)年龄是感染者的比例j,β\ (\ \)是通过传染病接触传播艾滋病的可能性,\ (C = (c_ {ij}) \)是社会接触矩阵。C给(平均)之间的联系单位时间内一个人的年龄我和个人的年龄j,是模型的核心成分,因为它反映出个人相互混合在不同的国家。

建模能力有限的公共卫生系统或疫苗短缺的情况发生在低收入国家,只有不到3%的人已经完全接种COVID-19截至2021年11月1,固定数量w单位的人被认为是接种疫苗的时间,此外,我们将假定年龄相关性针对疫苗接种8,12,21。所以,如果\ (w_i \)表示数量的疫苗分配给年龄组我每单位时间(疫苗接种的年龄组我),然后\ (w_i \ S_i / N_i \)在年龄段是易感个体的数量吗我接种单位疫苗接种是不管疾病状态的时候22。特别是,如果我们不考虑年龄,然后在一个均匀随机接种疫苗的人群,\ (w_i = w f_i \)与\ (f_i = N_i / N \),也就是说,\ (w_i \)分数成正比的人口年龄吗我,\ \(和_ {i = 1} ^ 3 w_i = w \),总接种疫苗。在这种情况下,疫苗接种的方程易感个体的年龄组我是由\ (w_i \ S_i / N_i = w f_i \ S_i / N_i = w \, S_i / N \)。所以,任何战略,离开这个统一的疫苗接种将由一个向量\ ((w_1 w_2 w_3) \)疫苗接种率的满足\ \(和_ {i = 1} ^ 3 w_i = w \)。

根据这些假设,假设一个任意的疫苗接种策略\ ((w_1 w_2 w_3) \),忽略了人口老化,出生和死亡的短时间尺度流行病,管理其动力学方程

$ ${对齐}\ \开始压裂{dS_i} {dt} & = - \总和_ {j = 1} ^ 3 \βc_ {ij} S_i \压裂{I_j} {N_j} + \三角洲_i R_i +δ^ \ v_i v_i - p_i w_i \压裂{S_i} {N_i} \ \ \压裂{dI_i} {dt} & = \总和_ {j = 1} ^ 3 \βc_ {ij} S_i \压裂{I_j} {N_j} - \伽马_i I_i, \ \ \压裂{dR_i} {dt} & = \伽马_i I_i - \三角洲_i R_i——p_i w_i \压裂{R_i} {N_i} \ \ \压裂{dV_i} {dt} & = p_i \压裂{w_i} {N_i} \离开(S_i + R_i \右)- \三角洲^ v_i v_i, \{对齐}$ $

与\ (S_i + I_i + R_i + V_i = N_i \),\ (i = 1、2、3 \),\ \(和_ {i = 1} ^ 3 w_i = w \)。

编写系统的分数(\ (s_i = s_i / N_i \),\ (y_i = I_i / N_i \),\ (r_i = r_i / N_i \),\ (v_i = v_i / N_i \))和忽视过去的方程,因为它是多余的,我们有

$ ${对齐}\ \开始压裂{ds_i} {dt} & = - \总和_ {j = 1} ^ 3 \βc_ {ij} s_i y_j + \三角洲_i r_i +δ^ \ v_i v_i - p_i \酒吧{w} _i s_i, \ nonumber \ \ \压裂{dy_i} {dt} & = \总和_ {j = 1} ^ 3 \βc_ {ij} s_i y_j - \伽马_i y_i, \ nonumber \ \ \压裂{dr_i} {dt} & = \伽马_i y_i - \三角洲_i r_i——p_i \酒吧{w} _i r_i, \{对齐}$ $
(1)

与\ (s_i + y_i + r_i + v_i = 1 \),酒吧\ (\ w} {_i = w_i / N_i \)(\ (i = 1、2、3 \))人均接种疫苗的年龄我。注意,从约束\ \(和_ {i = 1} ^ 3 w_i = w \)和的定义酒吧\ (\ w} {_i \),接下去\ \(和_ {i = 1} ^ 3 \酒吧{w} _i f_i = w / N = \酒吧{w} \),平均人均疫苗接种人群中。

之前的关系每个年龄段的人均疫苗接种率意味着,如果一个年龄组的人口比例我低于号码吗\(酒吧\ {w} \)可用的疫苗人均和单位时间(酒吧\ (f_i < \ {w} \)),然后酒吧\ (\ w} {_i > 1 \)时需要疫苗主要是针对这个年龄段(即。,当酒吧\ (\ w} {_j \约0 \)为我\ \ (j \ ne))。粗略地说,酒吧\ (\ w} {_i > 1 \)对应的情况有更多的可用疫苗每单位时间比人们接种疫苗我表示动作组(记得我们假设一个常数的疫苗接种率w)。

无病平衡点和疫苗接种策略

无病平衡点(DFE)系统(1)是\ ((r s ^ *, y ^ * ^ *) = (^ * _i, 0, 0) \)在哪里

$ $ \{对齐}年代开始^ * _i = \压裂{\△^ v_i} {w} {p_i \酒吧_i +δ^ v_i} \ \{对齐}$ $
(2)

与\ \(和_ {i = 1} ^ 3 \酒吧{w} _i f_i = \酒吧{w} \)。因此,在这个平衡,只有敏感和接种疫苗的个体存在\ (v ^ * _i = 1 s ^ * _i \)(\ (i = 1、2、3 \))。

基本的繁殖数量在教育部,这里用\ \ (R_0 ^ *)区别于一个模型没有接种疫苗,是下一代矩阵的最大特征值23

$ $ \{对齐}开始N ^ * _g = \β\ \ mathrm{诊断接头}(s ^ * _i) \ C \ \ mathrm{诊断接头}(1 / \伽马_i) \{对齐}$ $

在哪里_i \ \ (^ *)是由(2),C是社会接触矩阵,\(1 / \伽马_i \)平均传染期感染者的年龄吗我。此外,由于人均疫苗接种率酒吧\ (\ w} {_i \)满足\ \(和_ {i = 1} ^ 3 \酒吧{w} _i f_i = \酒吧{w} \)(有限的疫苗),\ (R ^ * _0 \)可以被认为是一个函数的\ ({w} \酒吧_1 \)和酒吧\ (\ w} {_2 \)只有,\ (R ^ * _0酒吧(\酒吧{w} _1 \ {w} _2) \)。

从(2我们可以计算条件酒吧\ (\ w} {_i \)有教育部的疫苗接种覆盖率最大的人口,相当于减少易感人群的比例平衡,\(\眉题{s ^ *} = \ \长成具和_ {i = 1} ^ 3 f_i s ^ * _i \)。准确地说,条件\ (\ mathrm{毕业生}(\眉题{s ^ *} ({w} _1 \酒吧,酒吧\ {w} _2)) = (0,0) \)和利率的积极性

$ ${对齐}\ \开始压裂{p_1 \酒吧{w} \△^ ^ * _1 + v_1} {\ sqrt {p_1 \△^ v_1}} = \压裂{p_2 \酒吧{w} ^ * _2 + \三角洲^ v_2}{\√6δ^ {p_2 \ v_2}} = \压裂{p_3 \酒吧{w} ^ * _3 + \三角洲^ v_3}{\√6δ^ {p_3 \ v_3}} \{对齐}$ $
(3)

与酒吧\ (\ w {} ^ * _i \)令人满意的\ (\ _ {i = 1}和{w} ^ ^ 3 \酒吧* _i f_i = \酒吧{w} \)。因此,从(3)一个容易获得疫苗率的显式表达式酒吧\ (\ w {} ^ * _i \)导致最大的疫苗接种覆盖率的约束下,在给定的单位时间的疫苗,这是全球最大的。特别是,它遵循,如果免疫力的速度损失\(δ^ v_i \ \)是相同的接种疫苗的人所有的年龄组和疫苗接种后的概率被保护吗\ (p_i \)各个年龄段也是相同的,那么疫苗接种率,保证接种疫苗的最大一部分人口吗酒吧\ (\ w} {_i = \酒吧{w} \),也就是说,they correspond to a uniformly random vaccination of the population, irrespective of age.

根据定义,在这种疫苗接种策略,接种单位时间的概率是相同的任何个人与年龄无关。在这种情况下,管理的动态微分方程易感个体的年龄我是

$ ${对齐}\ \开始压裂{ds_i} {dt} = - \总和_ {j = 1} ^ 3 \βc_ {ij} s_i y_j + \三角洲_i r_i +δ^ \ v_i v_i - {w} s_i p_i \酒吧。\{对齐}$ $

使用\(酒吧\ {w} \)调优参数,我们计算出基本的繁殖数量\ (R ^ * _0酒吧(\ w {}) \)人均疫苗接种,找到关键的利率酒吧\ (\ w} {_c \)定义为\ (R ^ * _0酒吧(\ w {} _c) = 1 \)。作为一个例子,图1显示了行为\ (R ^ * _0酒吧(\ w {}) \)数据集来自意大利导致酒吧\ (\ w} {_c = 0.0328 \)。

图1
图1

\ (R ^ * _0酒吧(\ w {}) \)对于系统(1)的无病平衡点(2)。关键的疫苗接种率的十字路口\ (R ^ * _0酒吧(\ w {}) \)用虚线酒吧\ (R ^ * (\ {w}) = 1 \)。参数:\伽马_1 = 1 (\ \),\(伽马_2 \ = 1 \),\(_3 \γ= 0.9 \),\δ_1 ^ v = 1/40 (\ \),δ_2 \ \ (^ v = 1/52 \),δ_3 \ \ (^ v = 1/40 \),\ (p_1 = p_2 = p_3 = 1 \),β\ (\ \)是按比例缩小的,\ (R_0 = 2.5 \)的数据集从意大利没有接种疫苗的人(酒吧\ (\ w {} = 0 \)),看到“结果”详情。

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当利率\(δ^ v_i \ \)免疫力丧失的组间差异,最大的DFE疫苗接种覆盖率将达到人均值的疫苗接种率酒吧\ (\ w {} ^ * _i \)不对应于一个均匀随机接种疫苗的人口。这些酒吧\ (\ w {} ^ * _i \)是最优的,疫苗接种覆盖率最大化;然而,他们不保证的最小值\ (R ^ * _0 \)在教育部。这个事实,实际上,可以用来定义一个优化疫苗接种策略的另一个标准,即比导致的最低价值\ (R ^ * _0 \)在教育部。在这种策略下,我们控制这种疾病的目标年龄组根据流行病爆发的潜在贡献。所以我们使用相同数量的单位时间的疫苗,但相比随机接种疫苗,我们从一些年龄组接种更个人而其他年龄组接种疫苗。这种情况下对应于所谓最优但疫苗分配不均7。

方法

数据

社会接触数据倡议(http://www.socialcontactdata.org)包括联系矩阵为比利时、芬兰、德国、意大利、卢森堡、荷兰、波兰和英国POLYMOD24从研究社会,以及数据混合在其他国家25。所有的数据都可以在Zenodohttps://doi.org/10.5281/zenodo.1215899,可以在R中检索使用socialmixr包。社会接触率(苏格拉底)数据的工具http://www.socialcontactdata.org/socrates/26允许快速和方便的检索这些社会联系矩阵。使用苏格拉底数据工具,我们选择了六个国家数值评估:比利时、德国、意大利、荷兰、秘鲁、和津巴布韦。所有的欧洲数据集POLYMOD项目24。接触矩阵对秘鲁27津巴布韦的一个28。

我们选择了三个年龄组:第一组包括0 17岁的人,第二组包括到59岁的人,和第三组包括60岁以上的人。对这些国家来说,苏格拉底数据工具提供了一个矩阵包含平均每天接触一个人的年龄我(行)与个人的年龄j(列)。这个矩阵的行金额对应的总人均联系每个年龄组。在所有这些矩阵,联系人是互惠(见补充表S1在线的更多细节)。

四个欧洲国家也有类似的人口组成第三年龄20 - 25%的人(老年人),约57%在第二个年龄组(成人),这是鲜明的对比与年轻人口的秘鲁和津巴布韦,老人只占人口的8.9%和4.4%,分别为(见补充表S2在线)。然而,这四个欧洲国家的接触模式显示明确而重要的差异。两人、意大利和荷兰,人均接触率有相当大的差异,非常高的日常接触儿童和成年人的数量,而比利时和德国人均接触率较低和更少的不同。另一方面,在津巴布韦,老年人人均最高的年龄段总接触率,而同一年龄段总人均最低接触率的其他国家。在秘鲁,总人均每天第一个年龄组的联系人数量几乎翻总人均每日数量的联系人在另外两个年龄组。

参数

回收率和丧失免疫利率被认为是相同的在六个国家考试,此外,组间非常相似。经济复苏率\(伽马_1 = \ \伽马_2 = 1 \)和\(_3 \γ= 0.9 \)。因此,由于这些利率等于1(或非常接近),我们可以考虑的时间单位来衡量传染期,大概1周(8 - 10天)COVID-19温和的情况下29日。失去了免疫力恢复率(δ_i \ (\ \))和接种疫苗(\ \ (△^ v_i =δ_i \ \))个人\(δ_1 = \ \ _3 > \δ_2 = 1/52 \)。这些值的\(δ^ v_i \ \)说,平均而言,个人在18岁和60年1年(52周)对疾病的免疫力,同时这一时期被认为是短的长度为个人从另外两个年龄组(40周;除了补充图。S1在线,它等于26周)。这些短期反映成熟度较低的免疫系统在第一个年龄组30.和免疫衰老的老人18。

对于每个国家,传播率β\ (\ \)通过实施呢\ (R_0 = 2.5 \)在流行的开始接种疫苗的人不存在。在这种情况下,\ (R_0 \)是下一代矩阵的最大特征值

$ ${对齐}N_g =β\ \ \开始,C \ \ mathrm{诊断接头}(1 / \伽马_i)。\{对齐}$ $

原来的矩阵C每天的接触。因为我们的时间单位是1周,我们接触矩阵在附录中乘以7来计算β\ (\ \)。然而,值得注意的是,使用这些re-scaled接触矩阵仅影响的价值β\ (\ \)(这是除以7使用re-scaled联系矩阵时)而不是我们展示的结果,因为产品\ \(βc_ {ij} \)在发病期内是不变的re-scalingC。

图2
图2

易感个体的进化的例子在流行病由(1没有疫苗接种与初始条件)y_i \ (s_i (0) (0), r_i (0)) = (0.9999, 0.0001, 0) \)为\ (i = 1、2、3 \)。参数:\伽马_1 = 1 (\ \),\(伽马_2 \ = 1 \),\(_3 \γ= 0.9 \),\δ_1 = 1/40 (\ \),δ_2 \ (\ \)= 1/52,δ_3 \ (\ \)= 1/40。对于每个国家,β\ (\ \)是按比例缩小的,\ (R_0 = 2.5 \)对相应的数据集没有接种疫苗的人。

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结果

没有疫苗接种

鉴于疾病参数在整个国家被认为是相同的,我们可以评估的影响疾病传播和社会接触模式,特别是在优化疫苗接种策略。图2显示的进化在传染病易感个体的分数没有疫苗接种为选定的参数。尽管平均分数总是很相似(我们施加相同的值\ (R_0 \)在所有国家),我们可以看到,最小的(最高)的易感个体总是对应于最高的年龄段(最低)人均总接触率(见补充表的最后一列S1在线)。这图也显示类似的联系模式在意大利和荷兰导致相同的订购易感个体对分数的平均分数。

关键利率下均匀随机接种疫苗

所有的数据集,下的临界人均接种率均匀随机接种疫苗酒吧\ (\ w} {_c在(0.0312,0.0354)\ \)当完美的保护。特定的临界速度值和每个国家的疫苗接种覆盖率报告在表1在充分保护疫苗(两个左列)和概率\ (p_1 = 1 \),\ (p_2 = 0.95 \),\ (p_3 = 0.9 \)后被保护的疫苗接种(两个右列)。在这两种场景中,秘鲁是最大关键的国家人均接种率(分别为3.54%和3.59%),导致人口的疫苗接种覆盖率最高(分别为62.03%和61.48%)。我们可以解释这些值覆盖的群体免疫水平所需秘鲁下均匀随机接种疫苗。

表1的意思是疫苗接种覆盖率(%)由(4)采用均匀随机临界人均接种疫苗接种策略率以100%的疫苗的功效,酒吧\ (\ w} {_c \)(%)和概率\ (\ mathrm {p} = (0.95 1 \ \, 0.9) \)的成功,酒吧\ (\ w} {_c (\ mathrm {p}) \)(%)。
全尺寸表

表1表明,正如所料,关键的疫苗接种加息有一小部分的人在接种后没有完全保护(\ \ (p_i < 1)为\ (i = 2,3 \))。它也显示了一个小减少疫苗接种覆盖率的数据集,除了一个来自津巴布韦。回忆,在均匀随机接种疫苗,酒吧\ (\ w} {_i = \酒吧{w} \)为\ (i = 1、2、3 \)。因此,教育部的意思是疫苗接种覆盖率由(2),一个关键的人均接种疫苗酒吧\ (\ w} {_c (\ mathrm {p}) \),\ (\ mathrm {p} = (p_1、p_2 p_3) \)的话,是

$ $ \{对齐}开始V_ {{w} _c} \酒吧(\ mathrm {p}) = \总和_ {j = 1} ^ 3 f_j \, v ^ * _j (\ mathrm {p}) = 1 - \总和_ {j = 1} ^ 3 \压裂{f_j \ \δ^ v_j} {{w} _c p_j \酒吧(\ mathrm {p}) +δ^ \ v_j}。\{对齐}$ $
(4)

请注意,酒吧\ (\ w} {_c (\ mathrm {p}) \)减少时的概率\ (p_i \)疫苗接种后的保护增加。的依赖\ (V_ {{w} _c} \酒吧(\ mathrm {p}) \)在\ (p_i \)是通过产品酒吧\ (p_j \ {w} _c (\ mathrm {p}) \)\ ((j = 1, 2, 3) \)。从重要的疫苗接种率在这个表和相应的值\ (p_i \),接下去酒吧\ (p_j \ {w} _c (\ mathrm {p}) < \酒吧{w} _c \)为\ (j = 2, 3 \)。这意味着第一个年龄组是唯一一个更高比例的个人在DFE接种疫苗\ (p_ {2,3} < 1 \)。津巴布韦,此外,分数最高的是这个国家的人在这个年龄段(49.1%,见补充表S2在线)。这两个事实解释了为什么的意思是疫苗接种覆盖率增加时才在津巴布韦一个不完美的保护为第二个和第三个假设疫苗的年龄群体。

疫苗接种战略

在无花果。3,我们的轮廓图\ (R ^ * _0 \)的函数\ ({w} \酒吧_1 \)和酒吧\ (\ w} {_2 \)的六个数据集。在这个图中,我们假定意味着疫苗的接种率酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_c \)和100%的疫苗的功效。由于约束\ \(和_ {i = 1} ^ 3 \酒吧{w} _i f_i = \酒吧{w} \),每个情节对应的内部边界酒吧\ (\ w} {_3 = 0 \),也就是说,to straight line given by酒吧\ (\ w} {_1 f + {w} _2 \酒吧₂= \酒吧{w} _c \)。

有趣的是注意到,第二个年龄组的人口比例(59年),\ (₂\),勉强从0.46变化(津巴布韦)到0.59(荷兰)。这就是为什么值的范围酒吧\ (\ w} {_2 \)从0到0.055 - -0.071在所有面板图。3(它的最大价值酒吧\ (\ w{} ^{\马克斯}_2 = {w} _c \酒吧/₂\))。相比之下,的值\ ({w} \酒吧_1 \)(所以,那些的酒吧\ (\ w} {_3 \))表现出更大的可变性。最极端的情况下出现在数据来自津巴布韦人口比例最高的第一组(0 17年)(\ (f = 0.49 \),酒吧\ (\ w{} ^{\马克斯}_1 = 0.067 \)最低的分数),第三组(60 +年)(\ (f_3 = 0.04 \),酒吧\ (\ w{} ^{\马克斯}_3 = 0.749 \))。

关于疫苗接种战略的面板图所示,(红色)点酒吧\ ((\ w} {_c,酒吧\ {w} _c) \)对应于均匀随机接种\ (R ^ * _0 = 1 \)像预期的那样,它是非常接近最大化疫苗接种覆盖率(绿点),因为我们假设非常相似的免疫接种疫苗的个体的损失三个年龄组。然而,增加这些利率之间的差异会导致更大的两个点之间的距离,因为它可以补充图中观察到。S1在线,概率\ (p_i \)为每个年龄段也是不同的。在这两个数字,\ (R ^ * _0 > 1 \)在最大覆盖率(绿点)数据集来自比利时(1.0028,1.0037)和德国(1.0020,1.0017),而\ (R ^ * _0 < 1 \)在这一点上的数据集从意大利(0.99786,0.99024),荷兰(0.99538,0.98184),和秘鲁(0.99001,0.97032)。数据集来自津巴布韦,\ (R ^ * _0 = 1.0008 \)在无花果。3和\ (R ^ * _0 = 0.9998 \)在补充图。S1网上。

在无花果。3我们还可以看到至少导致疾病的疫苗分配容器(最糟糕的策略)。在所有的情节,这些策略导致的价值观\ (R ^ * _0 \)大于2(橙色区域),它被认为是等于2.5教育部没有接种疫苗的人。在比利时和德国,橙色区域底部的等高线对应于一个非常低的疫苗接种的成年人(酒吧\ (\ w}{_2 \约0 \))。这个年龄段组成57 \ % \ \ ()在这两个国家的人口,其人均总接触率最高的比利时和德国非常接近最高。在秘鲁,最差的策略(橙色区域)显然是在等高线图的左边,这对应于一个非常低的疫苗接种率的年龄(18)(0,酒吧\ (\ w}{_1 \约0 \)),占36 \ % \ \ ()的人口和人均最高数量的联系人。在意大利,荷兰,和津巴布韦,橙色的地区集中在左下角,也就是说,最糟糕的战略对应分配大多数可用的疫苗的老年人(\(\酒吧{w} _1 \约0 \酒吧{w} _2 \约0 \))。这个年龄段的联系人人均最少(意大利、荷兰),或者它是迄今为止最众多的集团(津巴布韦)。

图3
图3

轮廓水平的\ (R ^ * _0酒吧(\酒吧{w} _1 \ {w} _2) \)系统(教育部的1),\ (p_i = 1 \)(\ (i = 1、2、3 \))。黑色曲线所对应的水平\ (R ^ * _0 = 1 \)。蓝色:最低的\ (R ^ * _0 \)。红点:\ (R ^ * _0 \)在均匀随机接种疫苗(酒吧\ (\ w} {_1 = {w} _2 \酒吧= \酒吧{w} _c \))。绿色的点:\ (R ^ * _0 \)在无病平衡最大的疫苗接种覆盖率。参数:\伽马_1 = 1 (\ \),\(伽马_2 \ = 1 \),\(_3 \γ= 0.9 \),\δ_1 ^ v = 1/40 (\ \),δ_2 \ \ (^ v = 1/52 \),δ_3 \ \ (^ v = 1/40 \),酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_c \)每个国家,每个数据集。β\ (\ \)是按比例缩小的,\ (R_0 = 2.5 \)没有接种疫苗的人。

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在表2,我们可以看到,只是解释以上,人均疫苗接种率酒吧\ (\ w {} ^ * _i \)计算(3)都非常接近酒吧\ (\ w} {_c \)与酒吧\ (\ w{} ^ * _1 = \酒吧{w} ^ * _3 \)(因为\(δδ^ ^ v_1 = \ \ v_3 \))。此外,这些利率导致相同的均匀随机接种疫苗接种覆盖率酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_c \)(cf。1)。但是,值得注意的是,他们显然是不同于疫苗接种率酒吧\ (\ w {} ^ 0 _i \)定义的最小值\ (R ^ * _0 \)为相同的值\(酒吧\ {w} \)(蓝色点无花果。3)。后者是最优人均疫苗接种率和他们很好地与总接触的年龄组(见补充表S1在线)。例如,津巴布韦的疫苗接种率的大小的变化是相反的,其他的国家,像的大小的顺序人均总接触率。此外,接触模式的相似性比利时和德国的数据集,这些数据集的意大利和荷兰(参见“方法”),反映在相应的最优值的相似性人均疫苗接种率。

表2意味着疫苗接种覆盖率(\ \ % \ ())疫苗接种策略酒吧\ (\ {\ {w} _i ^ 0 \} \)(在\ \ % \ ())导致最低\ (R ^ * _0 \)在教育部,在疫苗接种策略酒吧\ (\ {\ {w} _i ^ * \} \)(在\ \ % \ ())计算从情商。3)导致的最大意味着疫苗接种覆盖率。
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在无花果。3,我们也注意到,有一个蓝色的点之间的距离\ (R ^ * _0 = 1 \)黑色曲线,更加突出的六块。这个距离创建疫苗接种率的机会,仍然可以保证局部稳定的DFE但平均人均接种率低于临界速度的假设下得到均匀随机接种疫苗。

图4
图4

轮廓水平的\ (R ^ * _0酒吧(\酒吧{w} _1 \ {w} _2) \)系统(教育部的1),\ (p_i = 1 \)(\ (i = 1、2、3 \))和酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_0 \),一个值\ (R_0 \大约0.996 \)(见表3)。黑色曲线所对应的水平\ (R ^ * _0 = 1 \)。蓝色:最低的\ (R ^ * _0 \)。红点:\ (R ^ * _0 \)在均匀随机接种疫苗(酒吧\ (\ w} {_1 = {w} _2 \酒吧= \酒吧{w} _c \))。绿色的点:\ (R ^ * _0 \)在无病平衡最大的疫苗接种覆盖率。参数:\伽马_1 = 1 (\ \),\(伽马_2 \ = 1 \),\(_3 \γ= 0.9 \),\δ_1 ^ v = 1/40 (\ \),δ_2 \ \ (^ v = 1/52 \),δ_3 \ \ (^ v = 1/40 \)。对于每个国家,β\ (\ \)是按比例缩小的,\ (R_0 = 2.5 \)没有接种疫苗的人。

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为了说明这一事实,在无花果。4等高线图,我们将展示酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_0 \)这样的圆形价值最低\ (R ^ * _0 \)等于0.996。正如预期的那样,在这些数字最小(蓝色)非常接近\ (R ^ * _0 = 1 \)曲线,因为现在,我们管理较低数量的疫苗。考虑到意大利,例如,我们获得酒吧\ (\ w} {_0 = 0.0283 \),相比之下酒吧\ (\ w} {_c = 0.0328 \)的,相当于减少疫苗接种13.7%的速度。这种减少疫苗的接种率可以对应于可观的储蓄。秘鲁这个国家,在那些认为,收益较大的接种降息,从0.0354到0.0284,疫苗接种减少19.8%。表3总结了疫苗接种率酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_c \)和酒吧\ (\ w {} = {w} \酒吧_0 \)为选定的国家和相应的疫苗接种覆盖率。当我们寻找一个疫苗接种策略使系统无病平衡,考虑到国家的联系方式/同龄组提供了一个机会来减少所需的临界接种率比一个考虑均匀混合。这也有一个后果估计每个国家的群体免疫覆盖率。考虑接触模式的年龄组,减少所需的疫苗接种,也减少了所需的疫苗接种覆盖率,减少群体免疫水平,这也是这个表所示。

表3的意思是疫苗接种覆盖率(%)在关键的人均接种疫苗酒吧\ (\ w} {_c \)(%)下均匀随机接种策略,同时意味着人均的疫苗接种率酒吧\ (\ w} {_0 \)(%)的源头\ (R ^ * _0 \大约0.996 \)。100%的疫苗有效性假设在这两种情况下。
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讨论和结论

像COVID-19持续流行期间,重点是关注免疫在很短的时间内尽可能多的人,那些在前线医疗工作人员,在基本服务,那些健康状况引起严重感染发病率。相比之下,长期来看,\ (R_0 \)可以扮演一个角色在定义的最小疫苗接种覆盖率为防止流行病的入侵10,12通过所谓的群体免疫。许多国家目前不清楚是否能达到这样一个群体免疫COVID-19。提出了几个原因:疫苗的有限的可用性在许多国家,这一事实的免疫力可能不会永远持续下去,或者病毒的新变种的出现可以改变群体免疫阈值本身31日。还有一个关键的犹豫与疫苗接种引起的错误信息在互联网上的传播32,这被称为COVID-19 infodemic33。

在本文中,我们假定供应有限的疫苗赋予减弱免疫处理其中一些问题。目的是了解群体免疫可以实现部分接种人群的个体进行分类三个年龄组(青少年、成年人和老年人),当他们接触模式是考虑。此外,通过假设相似的疾病率为所有年龄组和国家,我们能够评估社会接触模式的影响至关重要的疫苗接种覆盖率。

这样的影响分析了获得的人均疫苗接种率集最小化\ (R ^ * _0 \),基本的繁殖数量与接种疫苗的个体价值。完成这样一个最小化的假设下(1)疫苗的供应有限的关键免疫接种率(\ (R ^ * _0 = 1 \))和(2)一个均匀随机接种疫苗。尽管这些都是强有力的约束,首先观察这最小化的利率定义了一个疫苗接种策略,减少了\ (R ^ * _0 \)值明显低于1 (\ (R ^ * _0 = 0.874 \)秘鲁的数据集)。所以,我们的第一个结论是,疫苗仍有改进的空间分布,当人口(人口组成)和社会方面。我们估计减少疫苗后实现\ (R ^ * _0 \)最小化策略减少更多的疫苗每单位时间的总可用性这样的最低\ (R_0 \)接近1 (\ (R ^ * _0 = 0.996 \))。

第二个结论是,采用疫苗接种策略,最小化\ (R ^ * _0 \),我们提供更高的保护那些更容易受到合同的年龄组感染没有接种疫苗的由于他们的社交模式。这种疫苗接种策略是形成鲜明对比的收益率的最大覆盖的人口,它只取决于免疫力丧失的速度和成功抵御感染的概率。准确地说,年龄组最高/最低人均最低疫苗接种率\ (R ^ * _0 \)(见表2)对应于那些最小的/最高分数易感个体的地方病平衡点不接种疫苗(cf无花果。2反过来,),对应于最高的年龄段/人均总接触率最低。数据集来自津巴布韦是特别有趣,因为它是唯一的数据集在最高的人均总接种速率对应于60年以上年龄组,而人口的一部分,它代表(\ (4.4 \ % \)在所有的数据集)是最小的一个。然而,人均这个年龄段的联系人数量远远高于同一年龄段的一个其他的数据集。

这些发现符合最高的众所周知的事实,接种疫苗的个体数量的接触减少传染病的传播。事实上,最小化\ (R ^ * _0 \)可以被认为是为了找到有效的基于风险的分配有限的疫苗供应。然而,其他标准的最优采用以前的文献,例如,一个选择了疫苗接种策略,保证分配最少的疫苗在所有策略\ \ (R_0 < 1)当有足够的疫苗供应和永久免疫力14。

本文给出的结果提供了第一次深入接触的作用模式等传染病的传播COVID-19导致短暂的免疫力,以及最优的疫苗接种策略最小化的基础上\ (R_0 \)。疾病参数选择的值近似模拟COVID-19传染期(1周)和目前的估计可能的免疫持续时间(约1年)。在我们的研究中,我们使用一个简单的SIRV COVID-19流行病模型,忽略了相关方面的动态,例如,例如,潜伏期的存在和不同程度的疾病严重程度。然而,我们的分析主要集中在基本的人口繁殖数,只有敏感和接种疫苗的个体存在。因此,在模型中包含更多的非传染性隔间不会改变论文的主要结论。等其他建模方面个体敏感性的变化,或社会活动的差异在年龄组病毒导致不同的曝光,也被忽视了在目前的研究中,尽管他们可能导致一个更大的减少所需的疫苗接种覆盖率,在最近的研究对SARS-CoV-2显示disease-induced群免疫力16,34。