简介

比尔-兰伯特指数透射定律1，2用均匀的、密度不大的介质来描述单色光的衰减，已经有近三个世纪的历史了。尽管开发了更新、更先进的透光模型，但它仍然适用于定量光谱学3.、稀薄气体和天体物理测量。所有这些模型都依赖于衰减粒子局部性的假设。然而，越来越多的实验4，5让我们相信量子力学的基础理论不是一个局部的现实理论6，7．在大多数“经典”透光模型中还有一个假设:光探测器是一个宏观装置。量子力学是最基础的理论之一，因此有必要检查这两个假设是否限制了经典透射率模型的适用范围。

量子扩散是一种涉及自发空间涂抹的效应\ψ(\ \)波函数随时间的变化。它导致了\ (| \ Psi | ^ 2 \)由该函数描述的物理对象的任何反应的概率密度。它直接来自自由粒子Schrödinger方程解8．假设波函数真实9，10在连续碰撞之间的自由时间内，我们将这个解决方案独立地应用于每个气体粒子。我们提出了一种“涂抹气体”模型。结合非定域性假设，建立了一种新的薄气体电磁透过率模型。该模型的预测之一是测量的光学透过率取决于，除其他外，i)使用的探测器的大小和ii)粒子平均自由时间的持续时间。经典的“局部”透光方法，例如比尔-兰伯特定律，并没有预测这种依赖关系。

本文对涂膜气体透过率模型进行了较深入的分析11．我们分析了开放系统和封闭系统。我们发现，由于自发粒子的扩散，即使在封闭系统中，透过率也会上升，但只是在一定限度内。我们用解析法推导出这个极限。我们表明，测量轴相对于云质量中心的位移可能会影响透光率的测量。的G参数11对气体透过率模型进行了较为深入的分析。最后，我们简要地说明了使用模型的结果区分量子力学解释的可能性。

假设

这个模型只有几个假设。气体粒子是相互独立的，它们是同一类型的非局部波函数(不是必需的)。气体不是相对性的，所以Schrödinger方程适用。粒子分布是均匀的，波函数仅因位置而异。光探测器的尺寸有限。这篇论文11详细描述了这些假设。

在本文中，我们首先研究了由二维粒子组成的气体云，如图所示。1．稍后我们将展示二维情况如何升级到三维，而不影响得出的结论。

大部分分析考虑的是一个直径为2的恒定探测器r．探测器半径r用作长度单位\ (r = 1 \)在纸上。在实际情况中，r的单位可以是微米到米。我们假设100%的检测器效率而不损失通用性。

我们假设一个简单的测量设置。单色光从与探测器形状和大小完全相同的光源垂直地传播到探测器。它们之间的体积被称为“可见隧道”。这个隧道是唯一一个光子吸收可能会影响探测器计数的光子数量的区域。我们假设探测器足够大(宏观)，因此可见隧道不会因非经典光子轨迹而变宽。源和探测器都远离云。请参阅参考文献中的“天文设置”考虑事项。11．

我们现实地解释了每个气体“粒子”波函数:\ \(ψ(x) \)一个空间扩展场是否表示相互作用的概率振幅x而不是在测量时发现一个粒子的振幅9．我们不限制波函数的确切形式。正态分布在后面的文本中使用。满足上述要求，是自由粒子Schrödinger方程解。此外，它还提供了一个方便的扩散度量，即标准偏差(方差)．

对于由Schrödinger方程导出的自由粒子分布，标准偏差取决于粒子自由时间(例如(4)在参考文献。11)．我们假设云密度较低，因此有一个非退相干的环境，让粒子自由进化一段时间，因此波函数自发地达到实质性扩散。为了简单起见，云中的所有粒子都考虑相同的分布:所有概率分布的标准偏差都相同。然而，如果必要的话，组合多个透光方程可以放松对均匀分布的要求。

此外，所提出的模型既不依赖于波函数坍缩的思想，也不直接适用于量子测量问题。我们不是在分析吸收后波函数的变化。

为了简单起见，我们用“吸收”来描述光子在到达探测器的过程中可能发生的所有类型的事件，即散射或吸收。

单个粒子的横截面(σ\ (\ \))必须小于探测器面积\(\sigma \ll r^2\)，这是任何原子或分子气体和常见的宏观探测器的情况。

图1
图1

一个样本图显示了由一些二维粒子组成的气体云。它们的波函数具有均匀标准差的高斯分布方差．每个粒子都偏移于\ (x = 0 \)轴的\ (o_n \)．光方向、光探测器位置、可见隧道(集成体积)以红色标示。探测器居中并平行于X轴。选择的单元具有探测器直径\ (r = 1 \)．

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的G系数重新审视

本文讨论了一种受探测器尺寸和气体粒子波函数扩散影响的气体云光学透过率模型。然而，为了将其预测与实际物理环境联系起来，我们还需要包括气体云的密度、云的厚度和(单个粒子)衰减截面等属性。一个适当的包含将调整透光率方程到一个给定的设置，允许定量，实验预测。

在提出的模型中G系数起着归一化因子的作用11．它的值取决于散射介质的物理性质:波长相关的粒子横截面、云厚度和云密度。申请G对于本文所讨论的概率模型，必须对这些属性进行如下编码。G表示有多少(\ (le 1 0 < G \ \))的探测器表面被经典极限下的模糊云“覆盖”，即气体粒子波函数高度局域化，探测器是宏观的:\(r \gg stdev\)．为了保证经典模型的定量结果相同，需要这样的定义1我们的(在经典极限下\(r \gg stdev\))．换句话说，G是光子(在没有云的情况下会到达探测器)在云中的某个地方没有被吸收/散射的概率。这是经典透射率的概率补\ (TR_ {cl} \)指云:

$ $ \{对齐}开始G = 1-TR_ {cl}。\{对齐}$ $
(1）

让我们回忆2\ (TR_ {cl} = e ^{σ问\}\),在那里n是粒子数密度，l云厚度在测量方向(光长)和σ\ (\ \)为粒子衰减截面。还有其他常用的不透明度量化方法，即光学深度(\ \(τ=σ问\ \))或吸光度(腹肌)．它们彼此相关:\ (TR_ {cl} = e ^{- \τ}= 10 ^ {abs} \)所以我们可以表达G就他们而言:

$$\begin{aligned} G=1-e^{-\tau}=1-10^{- abs}。\{对齐}$ $
（2）

很明显G系数有限:\ (le 1 0 < G \ \)是必需的。我们看到G系数是表示气体云经典光学深度的另一种方式。通过上述简单的算术关系，直接与光学深度或吸光度相关。

我们展示了什么是G对于均匀的云和单色光。这是一种简化，但对许多应用仍然有用，例如光谱学和天体物理学。如有必要，可以将这里提出的模型扩展到非均匀云和许多波长，就像经典的均匀和单色吸光度扩展到更复杂的情况一样。

在下面的例子和图表中，我们把\ (G = 0.7 \)．这是一个透过率为30%的云的例子\ (TR_ {cl} = 1 0.7 {-} \)或光学深度\(\tau =-ln(TR_{cl})\约1.20\)或吸光度\ (ABS = -log_ {10} (TR_ {cl}) \ \)约0.52．我们选择这个特定的值，因为它对应于所进行的实验中的典型透过率12．

单粒子透过率

本节展示了单个粒子扩散如何影响吸收检出率取决于探测器的尺寸和位置。它是一种最简单的单粒子气体云。我们介绍了概率分布、检出率并举例说明。

我们将感兴趣的是在垂直于探测器平面的给定体积的可探测隧道中找到一个粒子。为了简化计算，由于分布对称性，我们可以将二维粒子投射到探测器平面上。这样就得到了一维正态分布P：

$ $ \{对齐}开始P (x) = | \ Psi (x) | ^ 2 = \压裂{1}{\ sqrt{2 \π}方差}exp \离开(\压裂{- x ^ 2}{2方差^ 2}\右),\{对齐}$ $
（3）

在哪里方差是粒子标准差。

的概率\ (P_v (o) \)在给定体积的可探测隧道中找到一个粒子\((或)< x < (o + r) \)是积分:

$ $ \{对齐}开始P_v (o) = \ int _{或}^ {o + r} P (x) dx = \压裂{1}{2}\离开[小块土地\离开(\压裂{或}{\ sqrt{2}方差}\右)——小块土地\离开(\压裂{o + r} {\ sqrt{2}方差}\)\右],\{对齐}$ $
（4）

在哪里小块土地()为高斯误差函数，和o是可见隧道轴到粒子的距离(偏移量)。然而，这个概率并不等于这个粒子在这个体积中吸收一个光子的概率。吸收概率还取决于云的物理性质，如前一节所讨论的:粒子的横截面、密度和厚度。这就是G系数负责。它编码了光子从源到探测器的概率——在经典云的存在下。这两个事件(即，体积中的粒子和吸收光子)必须重合以防止光子到达探测器。因此，我们需要将两个概率相乘并取补来得到光子通过概率。根据定义，这个概率是云的光学透过率(TR)：

$ $ \{对齐}开始TR (o) = 1 g \ P_v (o)。\{对齐}$ $
（5）

应用Eq. (4)则透过率为:

$ $ \{对齐}开始TR (o) = 1 -左\压裂{G}{2} \[小块土地\离开(\压裂{或}{\ sqrt{2}方差}\右)——小块土地\离开(\压裂{o + r} {\ sqrt{2}方差}\)\右],\{对齐}$ $
(6）

根据r-半径探测器，并使粒子偏移于可见隧道轴线处o．

图2
图2

样本图:(i)单个粒子概率分布，(ii)在可探测隧道内发现粒子的概率，以及(iii)通过有限探测器测量的透射率。探测器半径\ (r = 1 \)．每列图为一个不同的方差价值。(i)第一行为粒子分布P（x)在Eq. (3.)．红色实线是样品检测器的位置\ (o = 0 \)．虚线红色表示可探测隧道(体积)边界。(ii)中间一行为概率\ (P_v (o) \)在一个可探测的隧道中发现一个粒子，这个隧道是一个受探测器位置限制的体积o根据式(4)．(iii)最后一行表示透射率\ (TR (o) = (1 g \, P_v (o)) \)这可以通过100%有效的检测器来测量o，见式(6),\ (G = 0.7 \)．绿色虚线表示经典的透射率\ (TR_ {cl} \)．

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数字2说明了一对不同的标准偏差的单个粒子分布和透射率。下面几列给出了粒子分布的更宽的标准偏差之间的关系。第一列对应于一个位置良好的粒子(\(stdev \ll r\))，即理想气体的经典状态。随着扩散的增加，我们可以看到(i)与粒子一致的探测器的透过率总是最低的，(ii)离中心偏远的探测器的透过率增加。对于一个开放的无限系统，探测器可以移动到尽可能远的地方。也会有被非局部粒子遮蔽的概率。

涂布气体透过率

让我们研究一个由许多粒子组成的系统:奇数个二维粒子，与探测器平行排列，间隔为2r．探测器对称地放置在中间。我们将在稍后发布这些条件。一个相同的概率分布给出了定位每个粒子的概率。虽然我们用的是高斯分布任何概率分布都成立，因为\(\int _{-\infty}^{\infty}P(x)dx=1\)．这样，我们就不会依赖于任何特定形式的波包。同样，为了简化计算，我们将2D粒子投射到探测器平面上，以与1D分布一起工作。数字3.的这样的配置\ (N = 9 \)粒子。实线红线标记探测器，虚线红线是可见隧道边界。

我们定义了稀气云透过率TR参考文献中提出的。11．透光率是探测器在没有云的情况下探测到的光子没有被整个云层吸收的概率N元素云，并被检测器检测到。与单个粒子的碰撞是相互独立的，因此我们可以将此过程视为马尔可夫链:

$ $ \{对齐}开始TR = \ prod _ {n = 1} ^ n \大(1 g \ P (o_n) \大),\{对齐}$ $
(7）

在哪里\ \(克、P (o_n) \)光子被吸收的概率是多少n-th气体分子，它被\ (o_n \)，见参考文献中的式(5)。11．

图3
图3

一个由9个相同粒子组成的样本，每2个粒子均匀分布一次r．实线红色标记探测器，虚线红色可见隧道边界。

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现在我们利用了周期性。概率分布的相同块(具有相同的形状和数量)都泄漏出来并流入可见隧道。因此，我们可以周期性地“展开”单个分布，而不是在一个地方考虑所有的分布。接下来，我们实际上“移动”了探测器N乘以(除以2的周期)r)并取其所有位置的乘积。这样我们可以代入\ (o_n = r (2 n-n-1) / 2 \)，和Eq. (7)变成:

$ $ \{对齐}开始TR = \ prod _ {n = 1} ^ n \离开(1 g \ P \左(r \压裂{2 n-n-1}{2} \) \右)。\{对齐}$ $
（8）
图4
图4

将概率分布分成许多块，周期性地每2块r根据式的要求(8)．的值n，o，\ (P_v (o) \)，\ \(克、P_v (o) \)而且\ (1 g \ P_v (o) \)为方便起见，每个部分都用红色叠加。

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数字4说明了这一点。一个分布被分成许多块，周期性地每2个r．的值n，o，\ (P_v (o) \)，\ \(克、P_v (o) \)而且\ (1 g \ P_v (o) \)为方便起见，每个部分都进行了叠加。

正如预期的那样，所有的可能性\ (P_v (o) \)求和为1，表示所分析的区间包含整个粒子。这种可能性并没有“泄露”出去。我们把它解释为系统中的守恒质量。

以下是适用于\ (G =常数\)：

$ ${对齐}\ \开始和_ {n = 1} ^ {n} P_v (o_n) = 1 \ Rightarrow \总和_ {n = 1} ^ {n} G \ P_v (o_n) = G =常数。\{对齐}$ $
（9)

透射率是的乘积\ (1 g \ P_v (o_n) \)，见式(7)．它的分量之和总是常数\ \(和(1 g \ P_v (o_n)) = const \)如上所示。然而，常数和并不能保证乘积是常数:

$ ${对齐}\ \开始和_ {n = 1} ^ {n} an = \总和_ {n = 1} ^ {n}不b_n \ \ Rightarrow \ prod _ {n = 1} ^ {n} an = \ prod _ {n = 1} ^ {n} b_n。\{对齐}$ $
（10）

这表明即使对于质量守恒的封闭系统，透射率可能发生变化因为质量守恒取决于(某些元素的)和，而透射率取决于(相同元素的)乘积。一般来说，透射率取决于分布的划分方式。这种划分取决于(i)概率分布的形状和(ii)探测器的宽度。

正态分布的形状只取决于它的标准差。探测器尺寸r显著影响其中一个的单个产品组件值\(方差\ r \ \ sim \)或\ (r <方差\)，影响产品，并最终影响测量的透过率。

在经典情况下，对于定位良好的(理想气体)粒子和宏观探测器，我们有\(方差\ \你\ r \)．这样，一个粒子的所有非零概率总是得到一个块，使Eq. (7)等于1，除了一个元素。唯一小于1的元素决定了整个产品的价值。产品在变化时不会发生变化r因为总是只有一个这样的元素。因此，在这种情况下，探测器的尺寸不会影响透光率的测量。它解释了为什么在经典系统中我们没有观察到透射率依赖于探测器尺寸。

此分析适用于任意数量的粒子(N)．甚至N的\ (o_n \)代入式(8)应该略有不同。

数字5展示了用固定尺寸探测器测量时透光率对粒子标准偏差的依赖关系。以下部分描述了图表的详细信息。

图5
图5

图中显示了用固定尺寸探测器测量时透射率对标准偏差的样品依赖关系。实线是云轴上的测量值，虚线表示离轴测量值。长度单位等于探测器半径r．探测器宽度为2 (\ (r = 1 \))．一维云是\ \ (N = 61)所有的粒子，它们平均间隔2r．的G系数设置为0.7(在\ (TR_ {cl} = 30 \ % \))．粒子具有一维正态分布，其中标准偏差以探测器半径单位(r)．离轴检测的检测器偏移量为20r从云轴。上面的图表显示了下面图表左边部分的放大倍数。

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稠密的或不均匀的云

如果每个探测器区域有很多个以上的粒子(就像在任何现实世界的设置中一样)，那么我们以以下方式重复以上的推理多次。我们将气体云划分为足够多的部分，使每个部分在统计上每个“探测器区域”只包含一个粒子。我们分别计算这些部分的(部分)透光率。从单个气体粒子吸收概率的独立性出发，计算部分透过率的乘积，得到整个云的总透过率。

同样的方法也适用于分析不均匀气体云。人们应该把这样的云分成均匀的部分，分别计算(部分)透过率，然后计算它们的乘积，得到总透过率。

或者，我们可以做调整常数的技巧G．我们可以令它等于\ (1-TR_ {cl} \),在那里\ (TR_ {cl} \)是云的经典透光率。然后我们取一组“人工”粒子，精确地每2分布一次r如上所述。这样一个人工粒子代表了一个给定块的可见隧道中存在的所有真实粒子。然而，请记住，这种人工粒子的散布(例如，标准偏差)与任何单个云粒子相同。也就是说，我们不把单个粒子的质量相加来计算传播速度。后一种方法对于数值计算是非常有效的。

三维云

对于三维气体云，首先必须将其投射到探测器的平面上。对于这样的2D模型，我们要求均匀分布粒子:每个探测器区域一个粒子。分析2D最直接的方法是考虑正态分布和边长为2的方形检测器r．对于这样的系统:(i)可得到解析解，见参考文献(11)和(18)。11并且(ii)探测器的方形形状允许用相邻的探测器覆盖整个平面。然后，我们可以执行与上述一维模型相同的周期推理。

探测器的任意形状使推理更具挑战性，并改变了定量方程。然而，这仍然是可能的，因为它只需要有限面积的探测器。但从定性上看，所提出的透射率随探测器面积的变化规律是成立的。

适用范围

经典的系统

理想气体是模型的经典极限。这种气体粒子的扩散可以忽略不计，探测器具有宏观尺寸(\(r \gg stdev\)）2．图的上表。5左边显示了这个极限，接近\(stdev = 0\)．在该图的底部图表中，经典系统适用性的区域实际上是不可见的。

开放的系统

开放系统是一种配置，其中粒子传播可以达到一个非常高的值，导致泄漏的概率远离云。然而，我们知道，在真实的物理系统中，最大扩散是有限的。至少有两个因素有限制方差增长:(i)宇宙的年龄和(ii)导致粒子退相干(波函数的坍缩)的云环境。然而，似乎在外太空中可能存在退相干可以忽略不计的条件(黑暗和高真空)，因此宇宙的年龄是唯一的上限。原子大小的粒子可以在那里经历非常显著的扩散。扩散(如用…测量的)方差)可能比探测器的尺寸大许多数量级。因此，在那里可能会发生相当大的透过率增加。在开放系统中透光率增长的上限是100%，因为概率(质量)泄漏出了系统。

封闭的系统

当气体云很大，粒子的扩散很低时，泄漏的概率不会超过气体云的轮廓。我们称它为封闭系统，因为事实上，它类似于质量守恒的封闭系统。

在这样的设置中，遥远的粒子流入测量区域的概率。例如，气体可以被封闭在一个足够大的腔室中，即它的直径\(D_{chmb} \gg stdev\)．我们的实验装置12,在那里\(D_{chmb} \sim {25}~\textrm{cm}\)，\(stdev \sim {14}\，\ upu \textrm{m}\)而且\(r \sim {25}\，\ upu \textrm{m}\)（\(stdev \约0.56r\))就是这样的情况。一个封闭的系统也可以是一个开放的系统(例如，在外层空间)，但云的直径比扩散大得多:\(D_{cloud} \gg stdev\)．云直径是在经典情况下非扩散云所占体积的直径\(stdev \rightarrow 0\)．一个假想的无限系统，即粒子在各个方向上无限远地放置(垂直于测量轴)，也应该被认为是一个封闭系统。

经典理想气体是封闭系统的一种特殊情况。

图中绿色虚线表示“关闭系统/打开系统”。5表示封闭系统和开放系统之间的近似边界。

封闭系统透光率增长极限

我们发现在封闭系统中透光率的增长是有限制的。一般情况下，由于Eq. (8)随着分布的增加，产品组件的分解越来越均匀。所有成分趋向于1:\((1- g /K) \右tarrow 1^{(-)}\)因为概率分布的扩散不会改变曲线下的面积。K有多少块是固定的\ \ (P > 0)．K随着生长扩展而增长(方差)所以\(G/K \rightarrow 0^{(+)}\),因为\ (G =常数\)．对于大型K我们可以重写Eq (8)只考虑块与\ \ (P > 0)以以下方式:

$ $ \{对齐}开始TR_{封闭}= (1 g / K) ^ K。\{对齐}$ $
（11）

我们发现最后一个方程存在上限:

$ $ \{对齐}开始TR_{极限}= \ lim _ {K \ rightarrow \ infty} (1 g / K) ^ ^ K = e {- g} = e ^ {(TR_ {cl} 1)}, \{对齐}$ $
（12）

因为概率分布被分成越来越多的(K)间隔。

达到这个极限在图中可见。5在图表中间的曲线变平。绿色虚线标记\ (TR_{极限}\)标记此限制。

我们用一个例子来结束。一种几乎完全不透明的(经典的)云\ (TR_ {cl} \, = \ 0 \)(例如,= \ \ \ (G, 1 \))增加它的透过率(作为自发扩散的结果，但没有质量逸出原始云轮廓之外)，达到最大值\(TR_{limit}=e^{-1} \约36.8\%\)．

测量轴

封闭系统和开放系统之间的边界没有明确规定，特别是当云处于无限(深)空间时。在这样一个靠近云边缘(而不是中心同轴)的封闭系统中进行透射率测量会影响结果。由于粒子更少，从任何一个方向流入可见隧道的概率都更小。因此，测量到的透光率(对于特定的粒子分布)可能比通过云中心测量的透光率高。

虚线曲线5显示了这样一个离轴测量样本。它与经典情况(左边)的实线重合。这很好。我们不期望理想气体有这种类型的偏差。同时，两条直线在右侧重叠因为开放系统没有任何特定的轴。只有在图表的中间部分，虚线总是在实线之上。这意味着，在云边缘附近测量的透光率会更快地升高方差生长)。这种现象可能会影响大的深空气体云的透过率测量。

质量管理解释的可区分性

上述分析可以在实验上区分量子力学的一些解释。特别是导波解释13假设存在一些只由非局部函数“控制”的局部对象。如果是这样，如果系统中有某种“球”具有一定概率(即横截面)吸收或不吸收光子，那么透光率对扩散的依赖关系就会不同。特别是，概率分布的因式分解不会影响封闭系统的透射率。它不会导致透光率的增加和达到\ (TR_{极限}= e ^ {- g} \)极限。相反，在一个封闭系统中，透光率将根据经典透光率定律(比尔-兰伯特定律)应用。概率泄漏可能是透光率唯一可能变化的原因。然而，这只发生在开放系统中。

图6
图6

不同的QM解释导致不同的涂抹气体透过率模型预测。实线表示在“非局域实性”假设下预测的透射率。虚线表示透射率，假设有一些小的球状物体吸收或不吸收光子，也就是说，根据导波解释。对于质量守恒的系统(见“封闭系统”范围)，导波解释与经典透射率没有任何不同。

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数字6这就是区别所在。实线表示在“非局域实性”假设下预测的透射率。它不期望存在任何有限大小的球状物体。虚线表示透光率，假设一些小的球状物体吸收或不吸收光子，而非局部波函数只是引导它们。虚线表示根据导波解释得到的透射率。人们可以看到两个图之间的距离，这表明可以进行比较透过率的实验(如参考文献)。12)，从而区分解释。

总结

该分析扩展了参考文献中提出的超稀释气体的透过率分析。11．粒子的量子扩散和探测器面积对透射率测量的影响不明显。它预测，即使在系统质量守恒的情况下，就像在一些实验室实验中一样，被涂污的气体云的光学透过率也可能发生变化(提高)。我们发现了这种增长的极限。所提出的数学分析不依赖于任何特定形式的气粒波函数。本文还简要分析了区分量子力学的一些解释的可能性。这个模型是可证伪的。我们在参考文献中提出了可能的实验。11并在参考文献中报告了其中一个有希望的结果。12．

这个模型可能有助于更好地理解发生在深空的现象。暗真空具有理想气体自发形成涂抹气体的自然条件。稀释气体是宇宙中最丰富的物质形式之一。对其透光率的观测，如光谱学，是研究其组成、密度、变化等性质的重要工具之一。这一理论对于正确解释天文观测和天体物理模型具有一定的意义。此外，已证实的透光率自发增加的趋势可能是宇宙中缺失可见质量问题的部分答案，即所谓的暗物质。