用于快速变化信号实时传感的自适应光学相位估计

光学相位跟踪因其在动态目标或信号测量中的应用而占有独特的应用地位^{1，2，3.，4，5，6}，包括引力波探测和生物测量^7，8．然而，在经典光学测量中，每次测量都有一个精度上限，即量子力学决定的量子噪声极限^{9，10，11，12，13，14，15，16}．对于恒定相位测量，光学测量精度极限是根据光子的数量来确定的N是\(1 / \√N \)¹⁰．目前用于超越光学测量精度极限的主要方法涉及非经典光源的使用^{11，17，18，19，20.}．例如，1981年，Caves首次提出Mach-Zehnder干涉仪应该使用压缩真空光来达到亚镜头噪声的灵敏度水平¹⁰．对于动态目标，Wiseman等人提出了一种反馈控制测量方案，利用测量信息实现对本振相位的反馈控制;本振子光和待测信号之间的相对相位被锁定\ \(π/ 2 \)，验证了该自适应方法的测量精度为\ \√2 \)乘以非自适应方法²¹．在Wiseman提出的自适应反馈测量结构的基础上，大量的经典估计理论被用于确定相干光和压缩光的相位参数。在这些努力中，Tsang等人设计了一个零拍锁相环，使用卡尔曼-布西滤波器和维纳滤波器分别实现了相干光的实时相位和瞬时频率的测量²²．2010年，Wheatley等人提出了一种数据平滑方案来跟踪压缩光的相位。实验表明，所获得的相位精度比相干光所能达到的极限提高了两倍²³．

在光学测量中，这一研究成果已大量用于实际应用。Xiao等人在1987年利用Mach-Zehnder干涉成功地超过了shot噪声极限精度²⁴．2002年，Armen等人利用光学锁相环连续跟踪光学相位²⁵．2012年，利用压缩光实现了光学相位跟踪，并将这种方法用于跟踪镜子的运动^26，27．2019年，为了进一步提高该系统的便利性，Zhang等人实现了光纤信号的连续跟踪^28，29．实时信号的光学相位跟踪一直是光学测量的一个重要发展方向，在实践中已被证明是一项重要的技术。

在以往的工作中，信号的光学相位总是在锁相环的锁相下记录在最优测量点^{26，30.，31，32}．本文提出了一种带时滞的系统结构，可以解决信号速率过快、锁相环未锁定在最优测量点的问题。所提出的结构使得在整个估计过程中跟踪用于测量信号相位和本振子相位之间相位差的最优点成为可能。在这项工作中，我们提供了一个理论解释的优点，提出了新的时滞系统结构用于快速时变信号相位处理。由于第一次测量不是最优的，该系统以牺牲部分光子资源为代价实现了最优的测量信号。此外，我们为新结构建立了扩展的卡尔曼滤波模型，提高了系统的稳定性和最终结果的准确性^{33，34，35，36}．理论分析和仿真分析表明，该系统结构可以在实际应用中实现快速目标的测量和跟踪。

目前，直接探测光频段所携带的相位信息是不可能的。提取相位信息最常用的方法是通过涉及具有相同工作频率的两束激光的光学干涉的方法。在这里，我们考虑使用连续波干涉测量法，其中相位采集过程\ (\ varphi_ {1} \)而且\ (\ varphi_ {2} \)如图所示。1．该方法在传统的光锁相环上增加了一个时延测量元件。当实时阶段\ \ varphi \ ()被带入信号波束，平衡检测器1的输出电流由下面的方程给出²⁶：

在哪里\ (\ alpha_ {1} \)通过第一分光器朝向探测器1的信号光束的振幅算符是\ \ (W_ {1} (t))是独立的高斯白噪声，满足关系\(左\ \ langle {W_ {1} (t) W_{1}(\τ)}\右\捕杀δt - \τ= \ \)．在这种情况下光子的总数是正确\α(左| \ \ \ | ^{2}= \左| {\ alpha_{1}} \右| ^{2}+ \左| {\ alpha_{2}} \右| ^ {2}\)，探测器2处的光子数与总光子数之比定义为\ \ (k ={\左|{\α}_{2}\右|}^{2}/{\左| \α\右|}^ {2}\)．一般来说，在传统的零差检测系统中，要达到最大的灵敏度，与以往工作中得到的灵敏度相似^{21，26，28，29，37}时，局部光束的调制相位锁定在\(\Phi (t) = \varphi_{1} (t) + \pi /2\),在那里\ (\ varphi_ {1} (t) \)是从信号中得到的\ \ (\ varphi (t))，输出电流可线性化为\({我}_ {1}(t) = 2 \左|{\α}_{1}\ | \左右[\ varphi (t) - {\ varphi} _ {1} (t) \] + {W} _ {1} (t \))．在本文中，我们考虑了信号速率变化过快的情况。当信号的速率\ ({\ varphi} \ \点)变化太快，反馈时间过长\三角洲(\ \)的锁相环是不可忽视的，条件是左\ (\ langle {\ [\ varphi (t) - {\ varphi} _ {1} (t - \δ)\]}^{2}\纠正\我1 \)不能满足。例如，如果信号波束相位变化为\(\dot{\varphi}\tau = \pi /4\)时，传感系数减小30%，而由于锁相环的时延，测量误差增大40%。因此，当信号速率变化过快时，锁相环的反馈时间会缩短\三角洲(\ \)考虑到，平衡检测器1的输出电流应为:

输入到探测器2的信号束通过将其延迟到表示的距离来加载额外的相位δL \ (\ \)．如果所需时间满足反馈时间\三角洲(\ \)正是如此，此时局部相位与信号相位同步。与探测器1的非线性测量不同，探测器2给出的输出是线性的，因为它总是在最优测量点，即可以认为是罪\ ({\}\ varphi - {\ varphi} _{1}) \大约\ varphi - {\ varphi} _ {1} \)大约持有。平衡检测器2的输出电流默认为

\ \ (W_ {2} (t))在这里被建模为独立的高斯白噪声，并满足关系\(左\ \ langle {W_ {2} (t) W_{2}(\τ)}\右\捕杀δt - \τ= \ \)．在这种情况下，探测器1和2的测量信号被命名\ (\ varphi_ {1} (t) \)而且\ (\ varphi_ {2} (t) \),分别。注意，必须为第一次测量提供足够的光子资源，以确保第二次测量不会偏离最佳工作点。在本文中，假设偏差角δ\ varphi \ \ (\)在第二次测量中，探测器1的误差不超过0.017 rad(与最佳工作点大约有1°的偏差)。对于给定的相位误差\(\varphi ={\varphi}_{1}(t)-\varphi (t)\)对于探测器1和传感系数为\[2 \左|{\α}_{1}\右| \ mathrm{因为}\离开[\ varphi (t) - {\ varphi} _ {1} (t - \δ)\]\)，根据“3σ的正态分布原理，探测器1接收到的光子数应满足该关系\({\左|{\α}_{1}\右|}^{2}\通用电气{\左\ 0.0113 \ cdot \ {mathrm{因为}\离开[\ varphi (t) - {\ varphi} _ {1} (t - \δ)\]\右\}}^ {2}\)．

在本文中，探测器1和探测器2的结果不可忽略。最终结果\ ({\ varphi} _{年代}\)由探测器1和探测器2的结果得到，即:\ (\ varphi_{年代}=左\ [{I_{1} \左| {\ alpha_{1}} \右| \ cos (\ varphi \ varphi_{1}} \右)+ I_{2} \左| {\ alpha_{2}} \右|]\左({2 \左| {\ alpha_{1}} \右| ^{2}\因为^ {2}(\ varphi \ varphi_{1}) + 2 \左| {\ alpha_{2}} \右| ^{2}}\右]^ {- 1}\)³⁸．同时，利用概率论结合两次测量结果，得到时延检测结果随偏移角和分光比变化的均方误差(MSE)，使MSE满足关系\(\σ^{2}{=}\左\{{4 \左右α| \ \ | ^{2}\离开[{\ kappa + (1 - \ kappa) \因为^ {2}(\ varphi \ varphi_{1})} \右]}\右\}^ {- 1}\)³⁸．

因为光学分裂比设置为50/50，所以测量用于第一次测量的光子资源也很重要。在无花果。2时，利用概率论将第一次测量结果与第二次测量结果结合，使MSE满足关系，得到时延检测结果的均方误差(MSE)\({\σ}^{2}={\左\{2{\左右α| \ \ |}^{2}\离开[1 + {\ mathrm{因为}}^ {2}(\ varphi - {\ varphi} _{1})正确\]正确\ \}}^ {1}\)³⁸．我们还研究了在第一次和第二次测量之间对应于信号光束的光学分裂比的估计灵敏度。如图所示。3.，当第一次测量偏离30°、45°和60°时，随着第一次测量分割比的减小，整个测量系统的整体精度提高。

我们在这里追踪一个随机移动信号，然后\δt (\ \)是探测器的测量间隔，由光电探测器的带宽决定。当输入信号模拟物体的随机波动时，我们得到³⁹：

在哪里\ \ varphi \ ()是一个描述物体角度的变量，\ ({\ varphi} \ \点)是描述物体角速度的变量吗\ (w \)表示外部环境的随机扰动，是满足上述关系的独立高斯白噪声环境左\ (E \ [{w (k) w ^ {T} (j)} \右]=问\ delta_ {kj} \)．

物体的运动状态方程\(X(t) = [\varphi (t)，\dot{\varphi}(t)]^{t}\)可以缩写为

在哪里\(左= \[{\开始{数组}{* c{20}} 1 &{\δt} \ \ 0 & 1 \ \ \{数组}}结束\右]\)而且左\ (B = \[{\开始{数组}{* c{20}}{\压裂{{\δt ^{2}}}{2}} \ \{\δt} \ \ \{数组}}结束\右]\)．

在实际应用中，由于调制器1的调制速度较慢，光电探测器的带宽远大于调制器1，平衡探测器1的观测方程为:

\ (W_ {1} (k) \)，为高斯白噪声，由炮点噪声引起，满足关系左\ (E \ [{W} _ {1} (k) {W} _ {1} ^ {\ rm T} (j) \] ={\三角洲}_ {kj} \)，\ ({k} ^ {^ {\ '}} = m n \),N是探测器带宽相对于调制器1带宽的倍数，即，它是探测器在调制器1的调制间隔内获得的数据点的数量。每个调制区间的反馈点由\(M = \left[\frac{k}{N} \right] \times N\)．

在连续离散卡尔曼系统中，如果最优评价为\(\眉题{X} (k) \)误差协方差矩阵为\(左\σ(k) = E \ [{(X (k) - \眉题{X} (k) (X (k) - \眉题{X} (k)) ^ {T}} \右]\),那么:

接下来，必须解以下方程:

在这里，我们得到\ (\ varphi_ {1} (k) \),让\ (H (k) = 2 \左| {\ alpha_{1}} \ | \因为\左右[{\ varphi_ {1} (k) - \ varphi_ {1} (k ^{^{\ '}})} \右]\)，然后按如下规则执行更新步骤:

后续计算的创新\(\眉题{y} \)和卡尔曼增益\ (K \)是否依赖于新的观察结果\ (I_ {1} \),在那里

在这里,\(\眉题{我}(k) = H (k) \眉题{{X ^ {^ {\ '}}}} (k) \)表示一次观测到的卡尔曼估计值\ (k \)，其精度用以下协方差矩阵量化:

在这里,\(r_ {1} = 1\)．由于系统是非线性的，这里使用了扩展卡尔曼滤波器。理论的前一部分只代表了系统反馈部分的优化。由于卡尔曼滤波器的快速因果估计特性，我们还将扩展的卡尔曼滤波器应用于从时滞系统获得的最终结果。探测器1和探测器2测量的相位为\ (\ varphi_ {1} \)而且\ (\ varphi_ {2} \)，然后根据它们的数学概率的以下组合得到最终信号³⁸：

在这里,\ (\ varphi_{年代}(k) \)表示探测器1和探测器2综合测量的结果。由于调制器2可以对信号进行高带宽调制，观测系数始终为\(\左| {2\alpha_{2}} \右|\)．我们在这里再次应用卡尔曼滤波。观测系数设为\(\左| {2\alpha} \右|\)时，观测噪声设为\ (2 r_{1}左/ \ \{{\因为^{2}\离开[{\ varphi_ {1} (k) - \ varphi_ {1} (k ^{^{\ '}})} \右]+ 1}\右\}\)，和合成的卡尔曼滤波值\ (\ varphi_{年代}(k) \)然后可以使用上述方法获得。

本文采用离散信号进行仿真，并设置了光电探测器和锁相环的带宽。这里假设光电探测器带宽为1ghz，调制器1带宽为40mhz，调制器2带宽为1ghz，反馈延迟为25ns⁴⁰．数字4显示生成的随机位移图。在本文中，工作相速度约为10⁷Rad /s，相比之下只有10级⁵Rad /s在以前的工作中使用²⁷．图中，“扰动”表示随机外力引起物体的加速度，扰动的大小由信号噪声决定\(问\)．接下来，我们使用图中提出的新的时延结构(具有50/50分光比)跟踪相位信息。1和传统的经典锁相环。信号偏置的最佳测量点位于0-1.22 rad的范围内。

为了证明考虑卡尔曼滤波后相位跟踪的改善，随机信号的相位变化如图所示。4在探测器1处用零差检测测量。可以观察到，在扩展卡尔曼滤波器的帮助下，测量参数的波动减小，如图所示。5，其中为总光子通量\(\左| \alpha \右|^{2}= 0.5 \乘10^{6}\)，信号噪声\(q = 10^{- 6}\)，和误差\(\sigma^{2} = (x - \varphi)^{2}\),在那里\ \ varphi \ ()输入相位，和\ \ (x)是测量值或过滤值。本次模拟中由第一次测量误差引起的最大角度偏差为0.014 rad，该偏差引起的观测系数波动小于\ (1 {0} ^ {4} \)．在此，基于上述讨论，使用扩展卡尔曼滤波器估计锁相环的反馈分量。此外，有必要评估卡尔曼滤波器对MSE的影响。基于数据的考虑，其中抽样10⁵，则不加卡尔曼滤波直接测量得到的均方误差为\(1.57 \乘10^{- 6}\)，对应卡尔曼滤波的MSE为\(1.05 \乘10^{- 6}\)．因此，当采用扩展卡尔曼滤波器进行实时相位估计时，估计精度优化了1.7 dB。

最后，讨论了应用这种新型时滞结构所产生的相敏性能。如图所示。6，与传统零差检测结果相比，采用延时结构时，测得的相位变化明显减小。增强效果也可以用MSE来表征。在这种情况下，时延测量的MSE为\(5.29 \乘10^{- 7}\)的理论极限\(5 \ * 10^{- 7}\)确定了在最佳操作点条件下的总光子通量\(\左| \alpha \右|^{2}= 0.5 \乘10^{6}\)的MSE\(7.03 \乘10^{- 7}\)采用常规零差法检测。此外，在相位估计过程中引入卡尔曼滤波器使MSE减小到\(4.06 \乘10^{- 7}\)，相位精度因此提高了2.4 dB。此外，尽管这种增强随着干涉角偏离最佳测量点的范围越来越大而继续增加，如图所示。2，在跟踪随机信号时，这里必须考虑平均效应，获得整体优化。

综上所述，我们设计了一种新型的带有时滞环路的光学相位跟踪系统，可以在实际应用中实现对物体运动中高速相位变化的高精度测量。与传统零差检测相比，系统在高速跟踪实时信号的同时进行时延检测，相位变化明显减小;特别是，相位增强随着与最佳工作点偏差的增大而增强。扩展卡尔曼滤波算法的加入使得测量精度在两次测量的基础上提高了2.4 dB。随着科学技术的不断发展，我们的方法在时变信号传感和动态测量中具有应用潜力。