简介gydF4y2Ba

自从发现了受时间反转对称保护的典型拓扑绝缘体gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，发现了许多具有潜在应用的拓扑材料。根据目前的拓扑材料数据库gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba4gydF4y2Ba，gydF4y2Ba5gydF4y2Ba在24825种测试材料中，4321种被鉴定为拓扑(结晶)绝缘体，10007种被鉴定为拓扑半金属。随着拓扑材料的出现，人们发现了多种拓扑相，并通过平移等多种对称性丰富了拓扑相gydF4y2Ba6gydF4y2Ba，gydF4y2Ba7gydF4y2Ba，gydF4y2Ba8gydF4y2Ba，gydF4y2Ba9gydF4y2Ba,反演gydF4y2Ba10gydF4y2Ba，gydF4y2Ba11gydF4y2Ba，gydF4y2Ba12gydF4y2Ba，gydF4y2Ba13gydF4y2Ba，gydF4y2Ba14gydF4y2Ba镜子,gydF4y2Ba15gydF4y2Ba、旋转gydF4y2Ba16gydF4y2Ba，gydF4y2Ba17gydF4y2Ba，gydF4y2Ba18gydF4y2Ba，gydF4y2Ba19gydF4y2Ba，或滑动镜gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba21gydF4y2Ba，gydF4y2Ba22gydF4y2Ba，gydF4y2Ba23gydF4y2Ba，以及是否具有时间反转对称性gydF4y2Ba18gydF4y2Ba，gydF4y2Ba24gydF4y2Ba，gydF4y2Ba25gydF4y2Ba，gydF4y2Ba26gydF4y2Ba，gydF4y2Ba27gydF4y2Ba，gydF4y2Ba28gydF4y2Ba．拓扑相也根据它们的顺序进行分类gydF4y2Ba29gydF4y2Ba，gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba31gydF4y2Ba，gydF4y2Ba32gydF4y2Ba,脆弱gydF4y2Ba33gydF4y2Ba,美味gydF4y2Ba34gydF4y2Ba,阻塞gydF4y2Ba35gydF4y2Ba，gydF4y2Ba36gydF4y2Ba，gydF4y2Ba37gydF4y2Ba，和非紧gydF4y2Ba38gydF4y2Ba原子绝缘体。适用于化工等各种设备，效果显著gydF4y2Ba39gydF4y2Ba，gydF4y2Ba40gydF4y2Ba、电子gydF4y2Ba27gydF4y2Ba，gydF4y2Ba41gydF4y2Ba，gydF4y2Ba42gydF4y2Ba，gydF4y2Ba43gydF4y2Ba，gydF4y2Ba44gydF4y2Ba,自旋电子gydF4y2Ba45gydF4y2Ba，gydF4y2Ba46gydF4y2Ba，gydF4y2Ba47gydF4y2Ba，gydF4y2Ba48gydF4y2Ba，gydF4y2Ba49gydF4y2Ba以及量子计算机设备gydF4y2Ba50gydF4y2Ba，gydF4y2Ba51gydF4y2Ba，gydF4y2Ba52gydF4y2Ba，gydF4y2Ba53gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

拓扑能带理论的显著发展可能是成功发现拓扑材料和相的根本原因之一gydF4y2Ba54gydF4y2Ba，gydF4y2Ba55gydF4y2Ba．此外，拓扑量子化学，或等效的，对称为基础的指示方法gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，gydF4y2Ba56gydF4y2Ba，gydF4y2Ba57gydF4y2Ba，实现了高效、高通量的拓扑材料搜索。对称指示器显著地简化了识别给定材料的拓扑状态的问题。结合基于密度泛函理论(DFT)的第一性原理计算，高对称动量的能带表示可以有效地表示非平凡能带拓扑。看似不同的拓扑相通过材料的对称性相互连接。因此，检查保护对称为确定共享保护对称的拓扑相提供了见解gydF4y2Ba56gydF4y2Ba，gydF4y2Ba58gydF4y2Ba，gydF4y2Ba59gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

对称指标是一个稳健的方案，但其局限性是显而易见的。值得注意的是，它们对一组特定的拓扑相失效，称为脆弱拓扑相gydF4y2Ba33gydF4y2Ba，gydF4y2Ba60gydF4y2Ba，这一直是一个深入研究的课题gydF4y2Ba61gydF4y2Ba，gydF4y2Ba62gydF4y2Ba，gydF4y2Ba63gydF4y2Ba，gydF4y2Ba64gydF4y2Ba，gydF4y2Ba65gydF4y2Ba．此外，对称指示器本质上具有一对多的性质gydF4y2Ba66gydF4y2Ba．同一平凡指标存在多个稳定拓扑相。因此，应采用Berry相位和Wilson-loop计算来确定稳定的拓扑相位。这种一对多的性质允许有和没有对称指示器的拓扑相变之间的脱节区别。在本研究中，我们研究了一类在对称指示符中无法找到的拓扑相变。这些对称未捕获的拓扑相变可以发生，因为在对称表示方面缺乏对称性来识别拓扑相变gydF4y2Ba67gydF4y2Ba，gydF4y2Ba68gydF4y2Ba．然而，拓扑相变避免对称指示的详细过程仍未被探索。gydF4y2Ba

在这篇论文中，我们提出了一个在没有对称指示的情况下发生的稳定拓扑相变的案例研究。我们用第一性原理计算方法研究了NaZnSb的拓扑相变gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_ {x} \)gydF4y2Ba存在由化学成分驱动的时间反转对称性gydF4y2BaxgydF4y2Ba，由两个镜像陈氏数诊断gydF4y2Ba\(μ_ {x} \ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(μ_ {xy} \ \)gydF4y2Ba而强者gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {2} \)gydF4y2Ba拓扑指数gydF4y2Ba\ \(ν_ {0}\)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba\((\mu _{x}\mu _{xy}\nu _{0})\)gydF4y2Ba从(000)，(020)，(220)，到(111)的变化gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0.15, 0.20, 0.53。其中，从(000)到(020)和从(020)到(220)的拓扑相变发生在相同的(平凡的)对称指示器内，因此从对称指示器中未捕捉到。我们建立了一个简化的有效模型来证明具有相同对称表示的带之间的镜像陈数变化，禁止对称表示。我们发现对称性通过对狄拉克费米子和旁观者狄拉克费米子的位置提供约束而在相变中起作用gydF4y2Ba69gydF4y2Ba，gydF4y2Ba70gydF4y2Ba，gydF4y2Ba71gydF4y2Ba在动量空间中。gydF4y2Ba

晶体结构和对称性gydF4y2Ba

数字gydF4y2Ba1gydF4y2Baa为NaZn的晶体结构gydF4y2BaXgydF4y2Ba（gydF4y2Ba\ (X = \)gydF4y2BaBi, Sb)在空间组gydF4y2BaPgydF4y2Ba4 / nmm(# 129)。该体系由Na-组成gydF4y2BaXgydF4y2Ba交错方形亚晶格和Zn平面方形亚晶格，置于Na-X双分子层之间。的gydF4y2BaPgydF4y2Ba4/nmm空间组有三个发电机-两个螺杆旋转gydF4y2Baz \ (\ {C_{4} \绿色\ tfrac {1} {2} \ tfrac {1} {2} 0 \} \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba2 \ (\ {C_ {x} \绿色\ tfrac {1} {2} \ tfrac {1} {2} 0 \} \)gydF4y2Ba空间反演gydF4y2Ba\ (\ {{\ mathcal {P}} \绿色\ tfrac {1} {2} \ tfrac {1} {2} 0 \} \)gydF4y2Ba．gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (C_ {2 x} \)gydF4y2Ba四倍旋转和两倍旋转gydF4y2Ba\ ({\ varvec {z}} \)gydF4y2Ba设在和gydF4y2Ba\ ({\ varvec {x}} \)gydF4y2Ba-轴(图;gydF4y2Ba1gydF4y2Ba一个),gydF4y2Ba\(\{\， g \， \vert \tfrac{1}{2}\tfrac{1}{2}0\}\)gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\(g = C_{4z}， C_{2x}\)gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba\ ({\ mathcal {P}} \)gydF4y2Ba)是一个对称算子gydF4y2BaggydF4y2Ba然后对原始单位向量的一半进行分式平移gydF4y2Ba\ ({\ varvec {x}} \)gydF4y2Ba- - -gydF4y2Ba\ ({\ varvec {y}} \)gydF4y2Ba的方向。值得注意的是，gydF4y2BaxgydF4y2Ba镜子gydF4y2Ba\ (M_ {x} \)gydF4y2Ba和gydF4y2BaxygydF4y2Ba滑翔gydF4y2Ba\ (G_ {xy} = \ {M_ {xy} \绿色\ tfrac {1} {2} \ tfrac {1} {2} 0 \} \)gydF4y2Ba，用于评价镜像陈数gydF4y2Ba\(μ_ {x} \ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(μ_ {xy} \ \)gydF4y2Ba,分别。此外，该系统保持了时间反转对称性gydF4y2Ba\ ({\ mathcal {T}} \)gydF4y2Ba，启用gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {2} \)gydF4y2Ba拓扑绝缘体相。第一布里渊带及其对应的高对称性动量如图所示。gydF4y2Ba1gydF4y2Bab.此外，NaZnSb是一种现有材料gydF4y2Ba72gydF4y2Ba，gydF4y2Ba73gydF4y2Ba，gydF4y2Ba74gydF4y2Ba，gydF4y2Ba75gydF4y2Ba，而NaZnBi尚未合成。gydF4y2Ba

图1gydF4y2Ba
图1gydF4y2Ba

（gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba) matlockite型NaZn的晶体结构gydF4y2BaXgydF4y2Ba（gydF4y2BaXgydF4y2Ba= Sb和Bi)在空间组gydF4y2BaPgydF4y2Ba4/nmm(# 129)。钠，锌，还有gydF4y2BaXgydF4y2Ba原子的颜色分别为白色、灰色和黑色。单位单元格由一个实心(黑色)方框表示。（gydF4y2BabgydF4y2Ba)对应四方第一布里渊带。高对称性动量用红色表示。gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

DFT乐队gydF4y2Ba

数字gydF4y2Ba2gydF4y2Ba为NaZnSb的第一性原理电子能带gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba计算各种化学成分gydF4y2BaxgydF4y2Ba使用虚拟晶体近似gydF4y2Ba76gydF4y2Ba，gydF4y2Ba77gydF4y2Ba．仔细检查发现，在整个BZ中存在一个直接的带隙gydF4y2Ba在[0,1]\ (x \ \)gydF4y2Ba除了那些gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba\ (x = 0.20 \)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba\ (x = 0.53 \)gydF4y2Ba．在这些微调组合中，导带和价带之间的带隙消失，从而可以形成具有线性色散的四倍简并带交叉，这被称为狄拉克点。特别是在这种情况下gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (x = 0.20 \)gydF4y2Ba时，狄拉克点出现在gydF4y2Ba\γ- x (\ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\γ- m (\ \)gydF4y2Ba中分别包含的行gydF4y2Ba\ (M_ {x} \)gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\ (G_ {xy} \)gydF4y2Ba)不变gydF4y2Ba\ (k_ {x} = 0 \)gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\ (k_ {x} = -k_ {y} \)gydF4y2Ba)飞机。然而,对于gydF4y2Ba\ (x = 0.53 \)gydF4y2Ba时，狄拉克点出现在时反转不变量处gydF4y2Ba\γ(\ \)gydF4y2Ba点和中介之间的波段反转gydF4y2Ba\ \(γ_6 ^ + \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ \(γ_6 ^ - \)gydF4y2Ba状态，如图所示。gydF4y2Ba2gydF4y2Bac。gydF4y2Ba\ \(γ_6 ^ + \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ \(γ_6 ^ - \)gydF4y2Ba态主要由Zn组成gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba和某人gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba\ (p_x \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (p_y \)gydF4y2Ba轨道，如图所示。gydF4y2Ba2gydF4y2Bad For anygydF4y2Ba\(x \in [0,1]\)gydF4y2Ba除了这些临界值外，导带和价带被直接带隙很好地分开，从而能够从占用带中评估拓扑绝缘相。gydF4y2Ba

图2gydF4y2Ba
图2gydF4y2Ba

（gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba) NaZnSb的第一性原理带(gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0)自旋-轨道耦合。红色矩形在引导灰色框中被放大，显示直接带隙。（gydF4y2BabgydF4y2Ba) NaZnBi的DFT带(gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 1)。gydF4y2BacgydF4y2Ba) NaZnSb的DFT带gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba对各种gydF4y2BaxgydF4y2Ba拓扑相图gydF4y2BaxgydF4y2Ba讨论。乐队靠近gydF4y2Ba\γ(\ \)gydF4y2Ba点在一起gydF4y2BaXgydF4y2Ba和gydF4y2Ba米gydF4y2Ba说明，附有相应的化学成分gydF4y2BaxgydF4y2Ba在拓扑相图中表示。带中的红色圆圈突出了出现在拓扑相边界上的无质量(零间隙)狄拉克点。不同颜色的畴表示不同的拓扑相。（gydF4y2BadgydF4y2Ba)的轨道特征示意图gydF4y2Ba\γ(\ \)gydF4y2Ba作为函数gydF4y2BaxgydF4y2Ba．锌-gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba和某人gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\ (p_x \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (p_y \)gydF4y2Ba轨道在gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0.53，负责变化的强者gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _2 \)gydF4y2Ba索引。gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

拓扑阶段gydF4y2Ba

狄拉克点伴随拓扑相变。使用威尔逊循环计算gydF4y2Ba18gydF4y2Ba，gydF4y2Ba79gydF4y2Ba，gydF4y2Ba80gydF4y2Ba，我们列举了两个镜像陈氏数gydF4y2Ba\(μ_ {x} \ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(μ_ {xy} \ \)gydF4y2Ba与gydF4y2Ba\ (M_x \)gydF4y2Ba镜子,gydF4y2Ba\ (G_ {xy} \)gydF4y2Ba-在相应的不变平面上滑翔gydF4y2Ba\(k_x = 0\)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(k_x = -k_y\)gydF4y2Ba,分别。(详细的镜像陈数计算参见补充资料)。此外，立体感强gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _2 \)gydF4y2Ba拓扑不变量gydF4y2Ba\ \(ν_ {0}\)gydF4y2Ba是用占用频带在8个时反转不变动量下的宇称特征值计算的吗gydF4y2Ba12gydF4y2Ba．如图底部面板所示。gydF4y2Ba2gydF4y2BaC时，我们确定拓扑相的特征为(gydF4y2Ba\(\mu _{x}，\mu _{xy}，\nu _{0}\)gydF4y2Ba) = (0,0,0) forgydF4y2Ba\(0 \le x < 0.15\)gydF4y2Ba，(2,0,0)为gydF4y2Ba\(0.15< x < 0.20\)gydF4y2Ba，(2,2,0)为gydF4y2Ba\(0.20< x < 0.53\)gydF4y2Ba，和(1,1,1)gydF4y2Ba\(0.53 < x \le 1\)gydF4y2Ba．我们注意到计算gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _2 \)gydF4y2Ba指数gydF4y2Ba\ (x = 1 \)gydF4y2Ba与之前的结果是否一致gydF4y2Ba81gydF4y2Ba．相对应地，拓扑相变在gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba\ (x = 0.20 \)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba\ (x = 0.53 \)gydF4y2Ba发生的原因是镜陈数的变化gydF4y2Ba\(μ_ {x} \ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(μ_ {xy} \ \)gydF4y2Ba而强者gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {2} \)gydF4y2Ba拓扑指数。gydF4y2Ba

为了完整起见，我们评估了NaZnSb中允许的其他可能的拓扑晶体相gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba．首先，绝缘子的三维拓扑相弱，特点为三相弱gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _2 \)gydF4y2Ba指数gydF4y2Ba\((\nu _1\nu _2\nu _3)\)gydF4y2Ba，原来都是微不足道的gydF4y2Ba\((\nu _1\nu _2\nu _3)=(0,0,0)\)gydF4y2Ba适用于所有间隙相。此外，gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {4} \)gydF4y2Ba与gydF4y2Ba\ (\ mathcal P {} \ mathcal {T} \)gydF4y2Ba对称gydF4y2Ba82gydF4y2Ba，表示为gydF4y2Ba\ \(ν_ {4}\)gydF4y2Ba计算结果与gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {2} \)gydF4y2Ba指数gydF4y2Ba\ \(ν_ {0}\)gydF4y2Ba．因此,gydF4y2Ba\ \(ν_ {4}= 0 \)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\(x < 0.53\)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ \(ν_ {4}= 1 \)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\ (0.53 x > \)gydF4y2Ba．最后，剩下的拓扑指标列在表中gydF4y2Ba1gydF4y2Ba．尽管结构多样，但整个拓扑晶体绝缘子相的形成是由弱指数和弱指数决定的gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {4} \)gydF4y2Ba指数gydF4y2Ba\((\nu _{1}，\nu _{2}\nu _{3}\nu _{4})\)gydF4y2Ba连同两个镜陈数gydF4y2Ba\(μ_ {x} \ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(μ_ {xy} \ \)gydF4y2Ba66gydF4y2Ba．镜陈数gydF4y2Ba\(μ_ {z} \ \)gydF4y2Ba与滑翔有关吗gydF4y2Ba\ (g_ {z} = \ {M_ {z} \绿色\ tfrac {1} {2} \ tfrac {1} {2} 0 \} \)gydF4y2Ba对称。的gydF4y2Ba\ (g_ {z} \)gydF4y2Ba不变的飞机gydF4y2Ba\ (k_ {z} = 0 \)gydF4y2Ba在临界组合处有四个狄拉克点gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (x = 0.20 \)gydF4y2Ba．镜陈数仍然微不足道，gydF4y2Ba\ \(μ_ {z} = 0 \)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\ (x < 0.53 \)gydF4y2Ba，这与所规定的对称约束一致gydF4y2Ba\ \(ν_ {4}= 0 \)gydF4y2Ba66gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

图3gydF4y2Ba
图3gydF4y2Ba

(001) NaZnSb的表面能谱gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_ {x} \)gydF4y2Ba在(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba）gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0.31， (gydF4y2BabgydF4y2Ba）gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 1.00。从平板几何计算的离散能谱与连续灰色体投影能谱重叠。表面投影的强度用红色表示;红色越浓，表面局部化越强。右边的面板显示了左边面板中盒装区域的放大视图。带交叉(反交叉)显示在放大视图的情况下gydF4y2Ba\ (x = 0.31 \)gydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 1.00)。gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba
表1可能的拓扑晶体相对应的平凡gydF4y2Ba\(3{\mathbb {Z}}_2\乘{\mathbb {Z}}_4\)gydF4y2Ba对称指标(gydF4y2Ba\(\nu _{1}\nu _{2}\nu _{3}\nu _{4}\)gydF4y2Ba) =(0,0,0,0)在空间组#129。gydF4y2Ba
全尺寸表gydF4y2Ba

拓扑表面状态gydF4y2Ba

在NaZnSb中发现的非平凡拓扑gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_ {x} \)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\ (0.15 x > \)gydF4y2Ba通过拓扑表面态的显式计算得到了证明。制备了NaZnSb的平板几何结构gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_ {x} \)gydF4y2Ba沿[001]方向包含15个单元单元，在(001)表面施加开放边界条件。数字gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba显示(a)的计算表面状态gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0.31和(b)gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 1.00，其中gydF4y2Ba\((\mu _{x}\mu _{xy}\nu _{0})=(2,2,0)\)gydF4y2Ba和(1,1,1)当gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0.31时，两个面狄拉克点发生的原因gydF4y2Ba\ \(μ_ {x} = 2 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ \(μ_ {xy} = 2 \)gydF4y2Ba沿着高对称性gydF4y2Ba\γ- x (\ \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\γ- m (\ \)gydF4y2Ba分别为BZ曲面上的直线，其中非平凡镜面被投影(图。gydF4y2Ba3.gydF4y2Baa).就……而言gydF4y2Ba\ (x = 1.00 \)gydF4y2Ba时，强拓扑绝缘体相(gydF4y2Ba\ \(ν_ {0}= 1 \)gydF4y2Ba)，导致在表面上形成一个二维表面狄拉克点gydF4y2Ba\γ(\ \)gydF4y2Ba点(图。gydF4y2Ba3.gydF4y2Bab).计算得到的表面光谱与由体拓扑不变量诊断出的拓扑相符合良好。gydF4y2Ba

对称指标gydF4y2Ba

在确定了NaZnSb的拓扑相后gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba，我们直接评估了对称指标，并表明在这个空间群中提出的对称指标不能捕捉到的拓扑相变gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (x = 20 \)gydF4y2Ba．根据参考文献。gydF4y2Ba66gydF4y2Ba, NaZnSbgydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba在空间组#129中包含一组gydF4y2Ba\(3{\mathbb {Z}}_2\乘{\mathbb {Z}}_4\)gydF4y2Ba对称指标gydF4y2Ba\((\nu _{1}\nu _{2}\nu _{3}\nu _{4})\)gydF4y2Ba．如前所述，前三个指数gydF4y2Ba\ \(ν_ {i = 1、2、3}\)gydF4y2Ba三维是弱的gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _2 \)gydF4y2Ba拓扑指数，由被占用频带的宇称特征值计算gydF4y2Ba12gydF4y2Ba最后一个指标gydF4y2Ba\ \(ν_4 \)gydF4y2Ba是gydF4y2Ba\({\mathcal {P}}{\mathcal {T}}\)gydF4y2Ba对称拓扑不变量，由gydF4y2Ba\ \(ν_4 \枚\总和_{\伽马_i \中\ mathrm修剪}\ tfrac {n ^ _{\伽马_i} - n ^ + _{\伽马_i}} {2} \)gydF4y2Ba(mod 4)，其中gydF4y2Ba\ (n ^{+(-)}_{\ γ_i} \)gydF4y2Ba偶(奇)宇称价带的数量是否在时间反转不变动量下gydF4y2Ba\伽马_i (\ \)gydF4y2Ba82gydF4y2Ba．从对称性表示的第一性原理计算出发，得到对称性指标gydF4y2Ba\((\nu _{1}\nu _{2}\nu _{3}\nu _{4})=(0000)\)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\(x < 0.53\)gydF4y2Ba(0001)表示gydF4y2Ba\(x > 0.53\)gydF4y2Ba．由此，强势指数在变化gydF4y2Ba\(x = 0.53\)gydF4y2Ba是由对称指标捕获的，但那些在gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (x = 0.20 \)gydF4y2Ba是看不见的。对称性指示的缺失可归因于带的对称性表示。因为拓扑相位的变化是通过存在于高对称性动量之外的狄拉克点的形成，所以在狄拉克点之前和之后，带的对称性表示保持相同。因此，从对称表示的评价来看，对称指标的失败是不可避免的。gydF4y2Ba

我们解释对称指标的失败是由于所谓的对称允许性质的陈恩数。与对称保护的拓扑相不同，Chern数的特征是所谓的对称禁止相，其中对称在产生约束而不是保护方面发挥作用。如Song等人所示。gydF4y2Ba66gydF4y2Ba，在129号空间组中，一个给定的对称指示器有四个变种(见表gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)．这些变化产生于两个镜像陈数的两种可能性，即:gydF4y2Ba\(\μ_{我}= 0,2 \)gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\ (i = x, xy \)gydF4y2Ba．哪些是在双重对称约束下的gydF4y2Ba我\ (C_ {2} \)gydF4y2Ba旋转gydF4y2Ba17gydF4y2Ba

$ $ \{对齐}开始e ^{我\π\μ_{我}}= \刺激_ {n \ \ mathrm {occ。}} (1) ^ F \ prod _{\伽马_a \中\ textrm {RIM}} \θ_n”(\伽马_a) \{对齐}$ $gydF4y2Ba
(1）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\ \(θ_n”(\伽马_a) = e ^{我(2 j_n ^{一}+ F) \π/ 2}\)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba\ (J_n ^ {} \)gydF4y2Ba是特征值吗gydF4y2Ba我\ (C_ {2} \)gydF4y2Ba的旋转gydF4y2BangydF4y2Ba旋转不变动量(RIM)下的第一个占用频带gydF4y2Ba\(伽马_{一}\ \)gydF4y2Ba包含在镜像不变平面中，和gydF4y2Ba(f = 1 (0)\)gydF4y2Ba对于有spinful(无spinless)系统。因此，可以通过测定来改变陈氏数gydF4y2Ba\(\Delta {\mathcal {C}}\)gydF4y2Ba从gydF4y2Ba

$ $ \{对齐}开始e ^{\π\δ{\ mathcal {C}}} = 1, \{对齐}$ $gydF4y2Ba
（2）gydF4y2Ba

或者说,gydF4y2Ba

δ{$ $ \开始{对齐}\ \ mathcal {C}} = 0 ~ (\ {mod ~} 2)文本\{对齐}$ $gydF4y2Ba
（3）gydF4y2Ba

当gydF4y2Ba\ (J_ {n} ^ {} \)gydF4y2Ba在Chern数变化前后保持不变。因此,gydF4y2Ba\(\mu _{i} = 0\)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(\mu _{i} = 2\)gydF4y2Ba对称允许，使得不同的拓扑相处于相同的对称结构下。gydF4y2Ba

镜面专用四波段模型gydF4y2Ba

通过构造一个有效的哈密顿量，我们进一步解决了对称在镜像陈数变化中的作用。让我们从一般的开始gydF4y2Ba4 \ \(4 \倍)gydF4y2Ba哈密顿gydF4y2Ba

$ $ \开始{对齐}{\ mathcal {H}} ({\ varvec {k}}) = \总和_ {i, j = x, y, z} h_ {ij} ({\ varvec {k}}) \τ_i \σ_j, \{对齐}$ $gydF4y2Ba
（4）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\ \(τ_ {x, y, z} \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ \(σ_ {x, y, z} \)gydF4y2Ba分别是描述轨道和自旋的泡利矩阵。的gydF4y2Ba\ (D_ {2 h} \)gydF4y2Ba点群对称性是从导致镜像陈数变化的DFT带中提取出来的(有效模型的详细推导见补充信息)。这导致了对称表示:gydF4y2Ba\({\mathcal {T}} = i\sigma _z {\mathcal {K}}\)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba\(M_{x,y,z} = i\sigma _{x,y,z}\)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba\(\mathcal P = {\mathcal {I}}_{4\乘4}\)gydF4y2Ba．在这里,gydF4y2Ba\ ({\ mathcal {K}} \)gydF4y2Ba是复数共轭。在对称约束下gydF4y2Ba

$ $ \开始{对齐}{\ mathcal {H}}({\帽子{O}} _g {\ varvec {k}}) = U_g ^ \ dag {\ mathcal {H}} ({\ varvec {q}}) U_g, \{对齐}$ $gydF4y2Ba
（5）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\ (U_g \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\({\帽子{O}} _g \)gydF4y2Ba这是对称算子的表示吗gydF4y2BaggydF4y2Ba在矩阵空间和动量空间中，分别为镜像不变平面上的有效哈密顿量gydF4y2Ba\(k_z = 0\)gydF4y2Ba得到为gydF4y2Ba

$ $ \开始{对齐}{\ mathcal {H}} ({\ varvec {k}}) = A (k_x k_y) \τ值+ B (k_x k_y) \τ_z + C (k_x k_y) \τ_y吗\σ_z \{对齐}$ $gydF4y2Ba
(6）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\(A(k_x,k_y) \equiv a_0+a_1 k_x²+a_2 k_y²\)gydF4y2Ba，gydF4y2Ba\(B(k_x,k_y) \equiv b_0+b_1 k_x²+b_2 k_y²\)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba\(C(k_x,k_y) \等于c_2 k_x k_y\)gydF4y2Ba到二次阶gydF4y2Ba\({\varvec{k}} = (k_x,k_y)\)gydF4y2Ba．对应的能带由gydF4y2Ba

$ $ \{对齐}开始E_{\点}({\ varvec {k}}) = \ \下午√6 {(k_x, k_y) ^ 2 + B (k_x k_y) ^ 2 + C (k_x k_y) ^ 2}, \{对齐}$ $gydF4y2Ba
(7）gydF4y2Ba

对于每个镜像扇区gydF4y2Ba\(\sigma _z = \pm 1\)gydF4y2Ba．的参数gydF4y2Bab_i \ \ (ai)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba\ (c₂\)gydF4y2Ba（gydF4y2Ba我gydF4y2Ba= 0, 1，和2)可以微调到临界点，其中gydF4y2Ba\(a = b = c = 0\)gydF4y2Ba．这些条件导致带隙交叉gydF4y2Ba\(e_ {+} = e_ {-}\)gydF4y2Ba在gydF4y2Ba\({\varvec{k}} = (\pm \sqrt{-a_0/a_1}，0)\)gydF4y2Ba或gydF4y2Ba\({\varvec{k}} = (0，\pm \sqrt{-a_0/a_2})\)gydF4y2Ba(我们注意到gydF4y2Ba\(c_2 = 0\)gydF4y2Ba也可以关闭禁带隙，但镜陈数不变，通过禁带隙更近。具体计算方法见补充资料。)gydF4y2Ba

图4gydF4y2Ba
图4gydF4y2Ba

用镜像陈数诊断拓扑晶体相变的示意图gydF4y2Ba\(μ_ {z} \ \)gydF4y2Ba．（gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)系统gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba．狄拉克点和观察者狄拉克点同时关闭带隙gydF4y2Ba\(m = m_1 = m_2\)gydF4y2Ba得到与镜像陈数相同的拓扑晶相gydF4y2Ba\({\mathcal {C}}_M = 0\)gydF4y2Ba．（gydF4y2BabgydF4y2Ba)无gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba．狄拉克点和观察者狄拉克点分别在gydF4y2Ba\(m = m_1\)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(m = m_2 \ne m_1\)gydF4y2Ba能从拓扑相变中调解出来吗gydF4y2Ba\(\mu _{z} = 0\)gydF4y2Ba来gydF4y2Ba\(\mu _{z} = 2\)gydF4y2Ba．（gydF4y2BacgydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2BadgydF4y2Ba动量空间镜像不变平面中狄拉克费米子的质量反演:(gydF4y2BacgydF4y2Ba),gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba和(gydF4y2BadgydF4y2Ba),而不gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba．红圈和蓝圈分别代表大质量狄拉克费米子和大质量旁观者狄拉克费米子。灰色圆圈表示无质量狄拉克费米子。gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

表征被占用频带的陈数gydF4y2Ba\ (E_ ({\ varvec {k}}) \)gydF4y2Ba对于每个镜像扇区gydF4y2Ba\(M_z = \pm i\)gydF4y2Ba由gydF4y2Ba

$ $ \开始{对齐}{\ mathcal {C}} _ {\ pm我}= \ \下午离开\ {\ textrm{胡志明市}\离开[C₂\离开(\压裂{a_0} {a_1} - \压裂{b_0} {b_1} \) \右]- \ textrm左{胡志明市}\ [C₂\离开(\压裂{a_0} {a₂}- \压裂{b_0} {b_2} \) \右]\右\},\{对齐}$ $gydF4y2Ba
（8）gydF4y2Ba

从其中镜辰数gydF4y2Ba\μ_z (\ \)gydF4y2Ba15gydF4y2Ba，gydF4y2Ba16gydF4y2Ba可从gydF4y2Ba

$ ${对齐}\ \开始μ_ {z} \枚\压裂{1}{2}({\ mathcal {C}} _ {+ i} - {\ mathcal {C}} _ {-}) = \ textrm{胡志明市}\离开[C₂\离开(\压裂{a_0} {b_0} - \压裂{a₂}{b_2} \) \右]- \ textrm{胡志明市}\离开[C₂\离开(\压裂{a_0} {b_0} - \压裂{a_1} {b_1} \) \右]。\{对齐}$ $gydF4y2Ba
（9)gydF4y2Ba

非平凡(平凡)拓扑晶体相的索引gydF4y2Ba\ \(μ_ {z} = 2 \)gydF4y2Ba(=0)发生在gydF4y2Ba\ \(左(b_2, a_0 - a₂b_0 \) \离开(b_1, a_0 - a_1 b_0 \右)< 0 (> 0)\)gydF4y2Ba．这个方程直接表明了带隙交叉定义了之间的拓扑相变gydF4y2Ba\ \(μ_z = 2 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ \(μ_z = 0 \)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

如图所示。gydF4y2Ba4gydF4y2Ba，有效模型的结果为对称性的作用提供了重要的见解。的gydF4y2BangydF4y2Ba-fold旋转对称生成gydF4y2BangydF4y2Ba对称相关的狄拉克费米子，其质量在相变过程中同时翻转。这导致了陈恩数的变化gydF4y2BangydF4y2Ba．我们相信的分数gydF4y2BangydF4y2Ba只有当对称在表示层被隐式破坏时才能改变，这可以从对称指示器中推导出来。注意狄拉克费米子的旁观者角色是很有趣的gydF4y2Ba69gydF4y2Ba，gydF4y2Ba69gydF4y2Ba，gydF4y2Ba70gydF4y2Ba，gydF4y2Ba71gydF4y2Ba，这是指在转变过程中没有质量反转的大质量狄拉克费米子。在恢复更高旋转对称性时，例如gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba，拓扑相变通过强制旁观者狄拉克费米子的参与变得微不足道。在我们的例子中gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba对称执行gydF4y2Ba\(a_1 = a_2\)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\(b_1 = b_2\)gydF4y2Ba，因此，所有大质量狄拉克费米子同时反转质量以抵消镜像陈数的变化。这符合由所给出的对称约束gydF4y2Baz \ (C_ {4} \)gydF4y2Ba到镜辰号。它只能修改4的倍数的整数，禁止修改2。我们认为这发生在NaZnSbgydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_ {x} \)gydF4y2Ba在gydF4y2Ba\ (x = 0.15 \)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba\ (x = 0.20 \)gydF4y2Ba，其中四个狄拉克点出现在gydF4y2Ba\ (G_ {z} \)gydF4y2Ba不变的gydF4y2Ba\ (k_ {z} = 0 \)gydF4y2Ba平面不改变镜陈数gydF4y2Ba\ \(μ_ {z} = 0 \)gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

结论gydF4y2Ba

我们对NaZnSb的拓扑相进行了第一性原理研究gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba由化学成分驱动gydF4y2BaxgydF4y2Ba．建立了拓扑相图gydF4y2BaxgydF4y2Ba-空间使用对称指示器，两个镜像陈数，和gydF4y2Ba\ ({\ mathbb {Z}} _ {2} \)gydF4y2Ba拓扑指数强。相边界被确定为gydF4y2BaxgydF4y2Ba=0.17, 0.20, 0.53。我们重点分析了前两个拓扑相变，这两个相变改变了镜像Chern数，但没有对称指示。对称性的缺失被归因于陈恩数的内在性质。一般来说，陈氏数可以跳跃一个倍数gydF4y2BangydF4y2Ba而不被抓到gydF4y2Ba\ (C_ {n} \)gydF4y2Ba-对称，这可以通过托管来实现gydF4y2BangydF4y2Ba调节陈数变化的无质量狄拉克费米子。gydF4y2Ba

我们的研究结果在三个方面具有科学创新性。首先，该研究提供了对拓扑相变的见解，揭示了对称性和拓扑之间的密切相互作用。其次，我们强调了对称指示器的一对多性质，这表明通过对称输入在拓扑中被识别为平凡的材料可以是非平凡的。这可能为寻找拓扑材料提供了机会。最后,NaZnSbgydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_ {x} \)gydF4y2Ba在四方相中就是这样一个典型的例子，它为探索拓扑现象提供了丰富的场所。例如，我们认为费米表面拓扑作为掺杂浓度和化学势的函数将是NaZnSb中一个有趣的未来研究gydF4y2Ba\ (_ {1 - x} \)gydF4y2BaBigydF4y2Ba\ (_x \)gydF4y2Ba系统。gydF4y2Ba

方法gydF4y2Ba

我们执行了基于密度泛函理论(DFT)的第一性原理计算gydF4y2Ba量子咖啡gydF4y2Ba包gydF4y2Ba83gydF4y2Ba．我们使用Perdew-Burke-Ernzerhof (PBE)型一般梯度逼近交换相关泛函gydF4y2Ba84gydF4y2Ba．的gydF4y2Ba鸦片gydF4y2Ba利用包构造Na、Zn、Bi和Zn原子的范数守恒、优化、设计的非局域和完全相对论赝势gydF4y2Ba85gydF4y2Ba，gydF4y2Ba86gydF4y2Ba．在力准则为10的范围内，原子结构完全松弛gydF4y2Ba\ (^ {7} \)gydF4y2Ba电动汽车/ A。波函数在平面波基础上扩展，能量截止值为680 eV。原子结构在力阈值为10的范围内完全松弛gydF4y2Ba\ (^ {5} \)gydF4y2Ba电动汽车/ A。8gydF4y2Ba\ \(\倍)gydF4y2Ba8gydF4y2Ba\ \(\倍)gydF4y2Ba8 .抽样gydF4y2Ba\ ({\ varvec {k}} \)gydF4y2Ba-点网格基于Monhorst-Pack方案gydF4y2Ba87gydF4y2Ba．我们已经测试过了gydF4y2Ba\ ({\ varvec {k}} \)gydF4y2Ba点网格密度足够大，可以实现电荷密度自一致和总能量收敛。从Sb到Bi的原子取代是化学成分的函数gydF4y2BaxgydF4y2Ba是否被虚晶体近似所模仿gydF4y2Ba76gydF4y2Ba，gydF4y2Ba77gydF4y2Ba．四方单元格的晶格参数计算为gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba= 4.39 Å，gydF4y2BacgydF4y2Ba= 7.36 Å对于gydF4y2BaXgydF4y2Ba= Sb和gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba= 4.54 Å，gydF4y2BacgydF4y2Ba= 7.55 Å为gydF4y2BaXgydF4y2Ba= Bi。单位单元包括两个公式单位，六个原子Na1, Na2, Zn1, Zn2，gydF4y2BaXgydF4y2Ba1,gydF4y2BaXgydF4y2Ba2位于(0.25 .gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.25gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.16gydF4y2BacgydF4y2Ba), (0.75gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.75gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.84gydF4y2BacgydF4y2Ba), (0.75gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.25gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.5gydF4y2BacgydF4y2Ba), (0.25gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.75gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.5gydF4y2BacgydF4y2Ba), (0.75gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.75gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.27gydF4y2BacgydF4y2Ba)、(0.25 .gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.25gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba, 0.73gydF4y2BacgydF4y2Ba),分别。镜陈数gydF4y2Ba15gydF4y2Ba，gydF4y2Ba16gydF4y2Ba使用镜像指定的威尔逊循环计算gydF4y2Ba18gydF4y2Ba，gydF4y2Ba78gydF4y2Ba，gydF4y2Ba79gydF4y2Ba，gydF4y2Ba80gydF4y2Ba．Wilson hamilton量由Soluyanov和Vanderbilt方法生成gydF4y2Ba88gydF4y2Ba，使用gydF4y2BaPw2wangydF4y2Ba实用程序在gydF4y2BaWannier90gydF4y2Ba代码gydF4y2Ba89gydF4y2Ba，gydF4y2Ba90gydF4y2Ba，gydF4y2Ba91gydF4y2Ba，gydF4y2Ba92gydF4y2Ba，gydF4y2Ba93gydF4y2Ba．gydF4y2Ba