分岔现象Taylor-Couette流在很短环径向贯流式

传播流结构在动力系统是常见的,许多品种研究了实验和数值。例如,Taylor-Couette流¹,局限于两个独立驱动的同心圆筒之间的环,发挥了关键作用在低粘度的细化研究和动力系统和水动力不稳定理论^1,2,3,4。其几何简单允许控制实验,验证数值模拟的理论分析,和容易。

除了经典的大量研究Taylor-Couette流,修改吸引了注意力。修改等牛顿流动,从径向温度依赖额外的质量流量,通过环的轴向或径向通过汽缸壁^5,6。其他变化包括磁性液体,如铁磁流体和磁流体动力流。出于应用程序的动态过滤设备^7,8本文探讨了影响径向质量流量(即。,我njection and suction through the cylinder walls) and the resulting interactions, modifications of flow dynamics, and stability mechanisms. The results may provide new insights to application development⁹,如旋转过滤系统和流动分离设备,如食物或油砂分离在石油行业¹⁰。

在Taylor-Couette系统(TCS)小比例(例如,\(\ \伽马\大约1)),流动动力学是由“之间的竞争正常的”和“异常“流状态,导致非常丰富的动力学行为^11,12,13。这里正常一词(异常)被称为流动状态与涡细胞给附近的内(外)流中的每个盖子径向方向。因此,对于小宽高比TCS流模式(一个细胞流动状态)或两个(两个流动状态)泰勒涡细胞被检测到^14,15。

TCS传播流动状态中观察到,当一个内圆筒和一个反向旋转外筒旋转粘性液体。这些流动通常创建旋转波(RWs)传播在方位方向强螺旋的贡献^4,16,17。其中最著名的古典螺旋漩涡旋转结构,存在为左或右撇子类型^{4,16,18,19,20.}。遥控武器站包括一个模式,作为一个整体旋转对称轴在给定的旋进频率不改变形状,和频率参数的依赖。因此,遥控武器站描述1-torus极限环,可以迫使通过外部手段(如轴质量流量)^{5,21,22,23,24}。第二频率的增加流动的复杂性,从而产生旋转调制波的解决方案(股价)^25,26,这是下一个层次的解决方案(即。2-torus)。

单纯的轴对称传播解决方案,如传播漩涡(pv),是不寻常的,很少研究^{27,28,29日,30.}。pV状态的特点是环形封闭传播涡结构,对应于一个纯粹的轴对称\ (m = 0 \)模式(见SM详情关于光谱模式)和作为主要出现不稳定阈值远低于相应的线性稳定性²⁷。在这项研究中我们考虑光伏指出,发生在很短的tcs (\(γ= 1.3 \ \))与轴向固定端壁径向流。最近,这样的轴对称pv在实验ferrofluidic库爱特流与自由表面条件的影响下一个轴向一侧均匀磁场²⁸。观察结果符合那些经典的系统设置²⁷。

除了pv,我们已经识别出脉动低州(T2{普尔斯}\ \(^ \文本)),纯粹是轴对称但与破碎\ (Z_2 \)对称。T2{普尔斯}\ \(^ \文本)州出现的定常流动结构,T2,类似于两个以前观察到twin-cell流动^31日。T2和twin-cell州包括两个涡细胞分裂径向流。因此,两个触摸顶部和底部墙结束。同样的适用于脉动T2\(_{1,2}^{普尔斯}\ \文本),它表现为一个极限环和一个2-torus解决方案。注意,脉动但轴向脉动流州已报告实验和数值^31日,32。

光伏解决方案本文不同于那些在以前的报告,因为他们有一个破碎的中高跟镜面对称,\ (Z_2 \)T2,与以往缺乏径向流和/或有外缸在休息的时候。这些也是复杂的解决方案,结合三个不相称的频率。对于经典的液体,所有prior-studied pv是极限环的解决方案²⁷有一个特征频率。然而,最近的工作^29日,30.,研究了铁磁流体的影响下的(组合)磁场显示更高的复杂性和品种丰富的光伏动力,一些只有准周期性的出现,代表2-torus解决方案。在这项研究中,我们确定了pv和一个,两个,三个不相称的频率,也就是说,他们住在一个极限环和2 - 3-torus不变流形,分别。此外,与\ (Z_2 \)对称破坏,T2和pV状态存在于两个对称分支退化的解决方案。

总结,古典TCS的研究表明,复杂,时间、传播和/或振荡流模式系统的长宽比时都会出现减少²⁶。研究缺口与动力学行为的类型可能出现在TCS的流模式受到额外的流程,如一个径向。径向的特点在本研究和流出也可能与天体物理磁盘的流体动力学,如多样化认为是美联储通过从外部流入质量来源。可能发生的类似的组合运动在全球陆地极地漩涡,这将可能在运输中发挥作用的上层大气中的臭氧³³。

当前的纸是组织如下。节”系统设置和数值程序”,我们澄清系统参数,描述数值方法,并定义我们的符号和术语。节”结果”,我们提出我们的主要结果在分岔图和相应的流结构在脉动流动态的详细分析和传播流结构。最后,我们讨论和结论部分”讨论和结论”。

考虑到流动两个独立旋转的圆柱体之间的环状间隙^1,17的长度l两者都是渗透,允许向内或向外的径向流(无花果。1)。内筒的半径\ (R_i \)旋转角速度,\ω_i (\ \)的外圆柱半径\ (R_o \)在旋转\ω_o (\ \)。最后墙顶部和底部的环是固定的,和环被认为是牛顿流体,等温,不可压缩和运动粘度\ \(ν\)。对于这个工作,我们假设固定半径比的差距,\ (b = 0.5 \)。系统的长度和时间尺度有缺口的宽度\ (d = R_o-R_i \)和扩散时间的\ (d ^ 2 / \ν\),分别。流体的压力规范化\ \(ρ\ν^ 2 / d ^ 2 \)。执政的无因次n - s方程:

在哪里\ (\ textbf{你}= (u, v, w) \)在圆柱坐标速度,\ ((r,θ,z) \)和相应的涡度\ \微分算符\次\ textbf{你}= (\ xi, \η,\ζ)\)。该系统是由独立的无因次参数如下:

此外,内外雷诺兹数的比值是固定的\ (Re_i / Re_o = 1 \)两缸,对应于表面速度不变但相反,虽然只有径向不同雷诺数,\α(\ \)流呈放射状向外,这是积极的和消极的径向向内流动。圆柱表面的速度场是时间无关\ (\ textbf{你}(r_i \θ,z, t) = (u_i, \ mathrm {Re_i}, 0) \)和\ (\ textbf{你}(r_o \θ,z, t) = (u_o, \ mathrm {Re_o}, 0) \)与\ (u_o \ \)=(\ \ b u_i \)分别,无因次内外半径\ (r_i = r_i / d = 1 \)和\ (r_o = r_o / d = 2 \)为\ (b = 0.5 \)。顶部和底部墙,速度\ (u (r,θ\ \γ/ 2)= u (r,θ\ \γ/ 2)= 0 \)。控制方程和边界条件不变下任意旋转,β\ (R_ \ \)(轴),反射,\ (K_z \)(环mid-plan,\ (z = 0 \)),翻译的时候,\(φ_ {t_0} \ \)生成对称群,\(所以(2)\ R乘以O (2) \ \)。前两个因素包括纯粹的空间对称性,和第三个因素对应于颞对称生成一维平移群。

这些对称的行动速度场

对小比例制度,唯一的轴向对称变化反映在一个理想的模型,\ (Z_2 \)。与轴对称配对,所以(2),得到完整的空间群对称性,\ (Z_2所以(2)\ \倍)。值得注意的是,没有物理实验会完全满足这些对称性,无论如何构建良好的和执行。由于不可避免的缺陷,他们只能大约持有,这将导致对分岔结构易于理解的修改^20.。

navier - stokes方程,情商。1G1D3),解决了使用我们的代码^20.这是一个结合有限差分法的径向和轴向方向(r,z)和一个Fourier-Galerkin方位方向扩张\(θ)(\ \)明确的时间分割,导致分解。可以找到更多的细节SM。

术语和符号

在这项研究中,我们关注TCS流动动力学与一个小比例,\(γ= 1.3 \ \),出于滞后的观察范围\(γ= 1.3 \ \)³⁴。反向旋转气缸固定外雷诺数,\ \ (Re_o = -250)和一个固定的内雷诺数,\ \ (Re_i = 250),在那里\ (Re_o / Re_i = 1 \)。因此,常见的结构出现在没有的径向流包括遥控武器站和股价²⁶有non-axisymmetric傅里叶模式与方位有关波数(s),\ (m \ ne 0 \)(见SM更多的细节)。给定参数的政权,这些都是典型的\ (m = 1下午\ \)和2下午\ (m = \ \)^1,4,26。然而,除了non-axisymmetric州,轴对称(纯\ (m = 0 \)模式)轴向光伏已发现流状态,静止(N2,都有流²⁶)和周期²⁷。他们显示时空动态和周期性涡生成和毁灭。值得注意的是,这里的参数机制研究是比边际(线性)稳定阈值。表1表明本文中描述的不同流动状态,包括缩写、主要特点、主要模式,数字涡细胞,流动态,和分类。

分岔图

提出了系统的分岔图的依赖时间上的变化模态动能,\(\眉题{E} _{亲属}\)为不同的流动状态的函数,应用径向流,\α(\ \),见图。2。垂直的箭头表示一个过渡的稳定性变化引起的一个解决方案。稳定流状态,N2(无花果。3),是稳定在整个参数范围\(5α\ leqslant \ \ leqslant 10 \)。N2最小动能小积极径向流\(α\ \大约2.55 \),它的增加和减少的能量增加\α(\ \),更强劲的增长\α(\ \)变得更加消极(径向流入)。

pV轴对称的解决方案²⁷稳定的出现在两个分开\α(\ \)参数区域。的光伏\ (_1 \)解决方案(1-torus)之间α\ -1.411 \ leqslant \ \ leqslant 0.15 \)的动能,\(\眉题{E} _{亲属}\)减少,不断降低\α(\ \)。在这个范围之外,pV\ (_1 \)国家失去了稳定性和转换(垂直箭头)稳定流状态,N2。其他地区稳定的传播漩涡,pV\ (_2 \)和光伏\ (_3 \),出现α\ 0.67 \ leqslant \ \ leqslant 2.05 \)。在这个地区,一个增加\α(\ \)恰逢一个减少\(\眉题{E} _{亲属}\)。与第一个地区,pV\ (_1 \)1-torus解决方案出现,在这里,pV状态显示为2-torus (pV\ (_2 \))和3-torus (pV\ (_3 \))解决方案和分岔情况比较复杂。从这个地区的右边缘,pV\ (_2 \)(2-torus)出现在状态\(α\ \大约2.07 \)。以减少\α(\ \),光伏\ (_2 \)第一次发生倍周期分岔(PD)\(α\ \大约1.47 \)。作为\α(\ \)继续减少,第三个不相称的频率(约1/3的原始)出现在\(α\ \大约0.98 \),导致3-torus解决方案,pV\ (_3 \)。作为\α(\ \)减少低于0.67,pV\ (_3 \)失去稳定性,N2和流转换,这类似于在pV的场景\ (_1 \)地区。当\α(\ \)增加2.07以上,pV\ (_2 \)国家不会回落到静态N2状态;它转换到旋转流状态,而是RW光碟\ (_ {1,2}\)。我们解释其连接到固定流通过不稳定的光伏解决方案在下一节。

除了不同光伏状态外,其他RW出现在各种各样的解决方案\α(\ \)。这些遥控武器站有一个更复杂的时空对称性的特定组合旋转特征岁差周期T和时间翻译\ (_p \),情商。3)。在当前的例子中,\ \(α= 0 \)RW,\ (_ {1,2}\)状态发生时,主要的(\ (m = 1 \))和次要的(\ (m = 2 \))的贡献,保持稳定增加\α(\ \)(径向流出),直到\(α\ \大约3.45 \)。在这里,\ (m = 1 \)模式贡献消失,RW\ (_ {1,2}\)改变一个纯旋转波,RW光碟\ (_2 \),只有一个\ (m = 2 \)模式的贡献。最终RW\ (_2 \)失去稳定\(α\ \大约8.22 \)和过渡到静止状态,N2。在RW\ (_ {1,2}\)在\ \(α= 0 \)和减少\α(\ \)(径向流出),变成了时间,因为会发生超临界流霍普夫分岔\(α\ \大约-1.23 \),结果在一个旋转调制波,股价\ (_ {1,2}\),主要\ (m = 1 \))和次要的(\ (m = 2 \))的贡献。作为\α(\ \)继续减少,股价\ (_ {1,2}\)再次失去稳定性和转换到静止状态,N2。

在更大的流入(更消极\α(\ \)),一个孤岛发生参数政权,α\ -4.11 \ leqslant \ \ leqslant -3.67 \),另一个轴对称流解决方案,主要包括四个漩涡(T2 -双(4细胞)状态^31日,32,35(无花果。3(2)出现。除了N2, T2的解决方案不反射对称数,表明破碎\ (Z_2 \)对称。为α\ -4.11 \ leqslant \ \ leqslant -3.87 \)T2是静止的,但成为时间(周期性脉动)增加\α(\ \)以上\ \ (-3.87),从而产生极限环(1-torus)的解决方案,T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)。一样的大小\α(\ \)继续减少,T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)第一次经历PD分叉\(α\ \大约-3.78 \)在第二个不相称的频率(约1/4的人)介绍\(α\ \大约-3.73 \),导致2-torus解决方案,T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)。最终在\(α\ \大约-3.67 \),T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)失去稳定,流量恢复到N2状态。

流结构

很明显从无花果。2广泛的流动结构可能发生在这个简单的几何学。在这里,我们描述这些流结构及其特点。

固定和旋转流结构

图3礼物流不同的固定方案的可视化和旋转流结构对应流在无花果。2。重要的是要注意,所有流结构,旋转轴对称(\ (m = 0 \)模式)的贡献占主导地位(最好的可见的径向速度\ (u(\θ,z) \),例如无花果。3二世和5(2))。N2和T2纯粹的轴对称,只包含\ (m = 0 \)模式。应特别关注T2,不同时间分叉流动状态的变化\α(\ \)详细讨论下。

N2的解决方案(有状态),它存在在整个参数范围\α(\ \)如无花果所示。2代表一个固定,轴对称和反射对称(中等高度\ (Z_2 \))流,两个大子午细胞组成^13,26。因此,它属于对称群,\(所以(2)\ R乘以O (2) \ \)【情商。(2)]。N2只由两个反向旋转的漩涡在最后流入墙由埃克曼泵引起的³⁶。这形成了一个向外喷射在中等高度指示由内层向外层缸边界层。相比之下,存在二次涡对附近的外筒一对双胞胎的解决方案,T2,导致内心的漩涡接近的压缩缸(无花果。3b, iv)。结果是一个4细胞流结构。T2,中等高度反射对称坏了。然而,T2存在退化与T2\ \ (^ *)由于操作数字符,通过简单的反射在T2\ (^ * = K_z \)T2(没有显示)。

旋转RW和股价波在一个广泛的存在\α(\ \)(无花果。2),但是他们的变化模式的贡献。特别是,RW从纯粹的结构变化\ (m = 2 \)模式RW\ (_2 \)(无花果。3c)的组合和叠加\ (m = 1 \)和\ (m = 2 \)模式RW\ (_ {1,2}\)(无花果。3(4))。流动状态RW\ (_2 \)清楚地说明了\ (m = 2 \)的贡献,而对于RW光碟\ (_ {1,2}\)(在\ \(α= 0 \)),\ (m = 1 \)优势(无花果。3c, ii)图中表现得非常明显。3d,二世。有趣的是,我们不能检测到一个稳定的纯洁\ (m = 1 \)负责RW流\ (_1 \)这样的纯RW\ (_2 \)。

遥控武器站打破系统对称(Eq。(2)]。RW\ (_2 \)(方位波数\ (m = 2 \))进积与内圆筒旋转精度。因此,对于RW\ (_2 \),连续时间翻译,\ \(φ_ \τ\)被替换为一个离散时间平移不变性,\(φ_ {T_P} \ \),在那里\ (T_P \)是精度。古典轴对称所以(2)也坏了。一般来说,方位波数米流是不变的一个循环集团\ (C_m \)由离散生成旋转,\ (R_{2 \π/ m} \)。例如,对于RW光碟\ (_2 \)与\ (m = 2 \)轴对称,所以(2)所取代\ (c₂\)(同构\ (Z_2 \)组)。关于旋转,旋转的时间翻译是等价的

RW\ (_2 \)见图。3c一架从附近的边界层内圆筒上点燃,应用\ (K_z \)反射RW\ (_2 \)结果在另一个旋转波解状态,RW\ (^ * _2 = K_z \)RW\ (_2 \)新兴底部附近,喷射点燃(这里没有显示)。

尽管遥控武器站不一定有时间依赖性除了他们的旋进时间,说明更复杂的动态,因为他们在圆柱轴旋转。图4显示了相应的相图\((\埃塔_ - \埃塔_ +)\)。相比之下,N2州Z\ (_2 \)包括对称(点在直线上\(\埃塔_ - = \埃塔_ + \)在无花果。4为\(α\ \ \ {0,10 \}\)。越来越\α(\ \)首先,N2在相空间对角线,\(\埃塔_ - = \埃塔_ + \)(从底部从左到右的无花果。4),达到最大径向流\(α\ \大约10 \),然后向下运动(从右到左的无花果。4)不断增加\α(\ \)。对角线的距离相图,\(\埃塔_ - = \埃塔_ + \)是一个衡量的程度\ (Z_2 \)对称是坏了。相应的相位图symmetry-degenerated解决方案,RW光碟\ (^ * _2 \)和股价\ (^ * _ {1,2}\)可以通过交换\(η_ \ \)和\ \埃塔_ + \)(没有显示)。图的插图。4显示了二维的庞加莱截面,\ (E_{亲属},\“埃塔”_ -)\),因为\(1900 \ \埃塔_ + =)和揭示股价的本质\ (_ {1,2}\)2-torus解决方案。

脉动流结构

当\α(\ \)上面增加\ \ (-3.74)静止状态,T2,失去稳定通过超临界对称性破坏霍普夫分岔(离散时间翻译)。极限环分叉解,T2\(_1 ^文本{普尔斯}}{\ \)(\(α\ \大约-3.74 \)),仍然是轴对称。这个新的时间依赖性的物理表现明显的外在指示飞机从内圆筒(本地化在基本状态)成为调制(脉动)。这种调制的结果形成一个较弱的飞机来自内缸下部的批量(图。5)。从排放点的下方,这二次喷射直接向上,最终合并与占主导地位的喷气机在上部,导致流的脉动特性。另请参阅movie_T2_alpha-3_7.avi在SMs。能获得更多的洞察脉动流动态的解决方案,无花果。5提出了五个T2的快照\(_1 ^文本{普尔斯}}{\ \)在\α= -3.7 (\ \)在一个周期内,\ \τ\大约0.194 \)。也看到SM,movie_T2_alpha-3_7.avi。显示方位涡度,\(240 \ \ \时间点)径向速度,\ (u (r = 0.5 d \θ,z) \),展开圆柱表面,垂直截面块\ (v (u (r,θ= 0,z), w (r,θ= 0,z)) \),说明涡的脉动和轴向振动的细胞。拓扑,脉动流状态,T2\(_1 ^文本{普尔斯}}{\ \),是一个极限环频率的解决方案\(\ \ω\大约2.532)(见图的功率谱密度(psd)。6一个)。

的出现二次飞机和随后的动态复杂性可以被解释为一个不同的轴向长度尺度之间的竞争的首选离心缸内部的不稳定边界层\α(\ \)的变化。短有限系统的轴向端墙部队这样的动力和支持的是,相应的周期性边界条件,没有观察到脉动状态。定性相似的轴向脉动流首次检测到Buzug et al。^31日为古典tcs和Altmeyer et al。³⁵为ferrofluidic库爱特流的影响下外部磁场应用。

图6显示了PSDs的\ (E_{亲属}\)和\ \埃塔_ + \)一对双胞胎州T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)和T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)在三个不同的\α(\ \),如表示。注意,时间序列和PSDs的全球数量\ (E_{亲属}\)和当地的数量\ \埃塔_ + \)提出了为\ (E_{亲属}\)可能包括任何隐藏的对称性。insets,说明相应的时间序列\ (E_{亲属}\)和\(下午\埃塔_ \ \)次,包括不同的特点,\ \(\τ_i,我\ \ {1,2 \}\)。首先,T2解决方案进行超临界对称性破坏(时间翻译)霍普夫分岔\(α\ \大约-3.87 \),导致一个依赖于时间的极限环(1-torus)解决方案,T2\(_1 ^文本{普尔斯}}{\ \)。接近爆发,T2的PSD\(_1 ^文本{普尔斯}}{\ \)在\α= -3.85 (\ \)(无花果。6(1)]表明单一频率\ \ω_1 \大约2.532 \)对应于脉动周期,\ \τ_1 \大约0.197 \)。增加径向流\α(\ \)T2{普尔斯}\ \ (_l ^ \文本)经历一个PD分叉\(α\ \大约-3.78 \)。新出现的频率,\(\ \ω_1/2 \大约1.223),相应的增加了一倍,\[2 \τ_1 \ \)约0.407清晰可见的PSD T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)在\α= -3.75 (\ \)(无花果。6(2)]。第二个不相称的频率的引入,\(ω_2 \ \)(约1/4的原始\ \(ω_1 \)),在\(α\ \大约-3.73 \)导致的外观2-torus解决方案,T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)。相应的PSD变得更复杂由于各种非线性相互作用产生的额外的频率和耦合(无花果。6(3)]。

图7提供脉动流动状态的另一个角度来看,T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)和T2{普尔斯}\ \ (_p ^ \文本),在\α(\ \)表示(见图。6)。径向速度的时空图所示,u在三个不同的径向位置,\ (u (r = r_1 + (4 d / 2 d / 3 d / 4], 0, z, t) \)。的轴向不对称涡对放置在大部分的上半部分是显而易见的。零等高水平表明黑字漩涡流的位置满足上半部分的系统(z \ \(大约0.8 \))向外单独指挥飞机。为\α= -3.85 (\ \)关键流动力似乎占主导地位的一半的体积,让外部区域几乎不受影响。的足迹特征调制/与新二次射流脉动明显的mid-gap散装在无花果。7(1 b)。T2的时空图{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)在\α= -3.75 (\ \)后,周期性翻倍分岔,清楚地显示了一倍,\(文本{普尔斯}\τ^ \ \)。此外,流动的复杂性通常会增加,尤其是在室内和大部分的中心地区。同时,外部区域变得更受影响。额外的零圆形区域u(无花果。7(2)表明新生的二级分离。这些圆形区域的大小变化(无花果。7(3、3 c)]突出2-torus解决方案的附加不相称的频率,T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)(见PSD的T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)在无花果。6(3))。新频率很接近1/4的主要频率,这意味着它几乎是几乎4原始时期的四倍。

图8显示了一个阶段的画像\((\埃塔_ - \埃塔+)\)从T2,说明T2的发展解决方案{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)到T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)。插图给了相应的二维庞加莱截面\(η_ \ \)在\ (E_{亲属},\“埃塔”_ +)\)。庞加莱部分对应\(\埃塔_ - = 1170 \)。在相图,\((\埃塔_ - \埃塔+)\)指出,在\(α\ \ \ {4 1,4,-3.9 \}\)显示固定T2状态,而曲线在\ \α(\ \ {-3.85,-3.8,-3.75 \}\)对应的极限周期解,T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本),最后的2-torus T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)在\α= -3.7 (\ \)。在相应的庞加莱截面,极限环的解决方案作为单点(即出现。两个点,T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)解决方案后PD\(α\ \大约-3.77 \)和2-torus两个(几乎)封闭曲线)。PD后,相图显示了一个翻倍曲线对应于前一半的出现频率,\ω_1/2 (\ \)(无花果。6)。至关重要的差异\ \埃塔_ + \)和\(η_ \ \)关于线的距离\ \埃塔_ = \埃塔_ + \)是一个衡量的程度\ (Z_2 \)对称性被打破(参见cf。(M)遥控武器站在无花果。4)。

传播流结构

这里讨论的光伏国家有更高的复杂性比之前的作品^27,28。目前,所有观察到的pv在经典流体是相对简单的极限环的解决方案(1-torus)。然而,这并不适用于本文提供的pv。此外,大多数我们的不说明一个纯粹的传播产生和湮灭的漩涡。大多数都是传播流的组合结构和额外的脉动。然而,脉动与前面描述的T2{普尔斯}\ \(^ \文本)解决方案。值得注意的是,更复杂的光伏动力已经观察了铁磁流体在外部磁场的影响^29日,30.。

稳定的光伏国家出现的正面和负面的径向流动参数范围内,α\ -1.411 \ leqslant \ \ leqslant 2.05 \)(无花果。2)。然而,从先前的一些重要差异存在^27,28。首先,尽管他们是轴对称的,我们的pv不\ (Z_2 \)对称的。第二,我们的光伏国家出现在两个稳定分离地区,α\ -1.411 \ leqslant \ \ leqslant 0.15 \)(地区)和α\ 0.67 \ leqslant \ \ leqslant 2.05 \)(B)地区(无花果。2),留下一个无法找到pv的区域中间。值得注意的是,所有努力稳定他们失败了。所有限制轴对称(\ (m = 0 \)模式)子空间(参见“不稳定的光伏国家”)导致了N2稳定流状态。第三,行为变化有关\α(\ \)至关重要的是不同地区内A和b,一方面,在地区(主要是)负面的\α(\ \)pv,轻松的性格典型的慢快中子动态出现,最终以一个鞍节点在一个不变的圆(SNIC)分岔^37,38。另一方面,与积极的地区B\α(\ \)更复杂的分岔序列出现。然而,潜在的动力似乎与慢快中子动力学(图相同。14)。这个,可以直观地观察到,但是给定的参数范围太小,提供更多的定量分析。

尽管流动动力学出现在两个分离地区内的光伏国家,A和B,在很大程度上是相同的,有一些重要的区别。(图A和B区域。2)发出二级飞机从下到上,这与他们合并前各自向外直接飞机。内边界层是占主导地位,而主要外边界层的动力学响应内心的一个。在地区,我们发现只有pV\ (_1 \)(无花果。9和10),这是一个极限环的解决方案。相反,在区域B, pV\ (_2 \)(无花果。11)和光伏\ (_3 \)发现,代表2 -和3-torus解决方案。我们看到,对于径向流出\α> 0 (\ \)(地区B),正如预期的那样,整个流动力向外移动(参见附加的无花果。3和4在SM)到一个更广泛的地区大部分内部。结果,外边界层变得越来越小,同时保持被动,应对内部。

PSDs的无花果。6突出越来越复杂的光伏与减少地区B\α(\ \)。PSDs的光伏\ (_2 \)在\(α= 2 \ \)和\(α= 1 \ \)(无花果。6(1、2)指示清晰可见的2-torus特征频率,\ \(\ω_i,我在\ \ {1、2、3 \}\),这也凸显了PD。\ \(ω_1 \)与时间有关\ \(τ_1 \)一个漩涡传播(从下到上),而\(ω_2 \ \)对应于\ \(τ)_2 \)一个漩涡,将周期时间传播+脉动。第三的外表不相称的频率,相应的PSD的pV\ (_3 \)在\α= 0.7 (\ \)(无花果。6(3)只显示主要潜在的频率,\ \(ω_1 \),与涡传播有关,\(ω_2 \ \)与整体相结合的传播和脉动。

无花果的时空图。13说明流动动力学主要由两个主要特征:传播和脉动。首先,传播的周期性的新一代,(向上)传播和消除一个涡对,可以看到由周期性一会儿斜(黑)零等值线(图。13b½)。第二,脉动是可见的波/ belly-like调制zero-contour线y \ \(大约0.8 \)在无花果。13前面描述的两个传播周期。比较无花果。13(1)(\(α= 1 \ \))和(2)(\(α= 2 \ \)),翻了一番时期在PD清晰可见。三分之一的外表不相称的频率和3-torus的外观解决方案,时空图显示增加了复杂性没有任何明显的时期(无花果。13(2)(\α= 0.7 (\ \))]。周期性的损失可以在midgap最好\ ((b) = d / 2 \)上面的盖子。在(2)pV\(_2(\α= 1)\),一个看到的周期(重复)外观小岛在每秒钟通传播涡与上盖碰撞,但这对(3)pV周期性丢失\(_3(α= 0.7)\ \)。对光伏\(_3(α= 0.7)\ \),这些岛屿可以出现不规则,大小和时间(不是每段时期)。

注意,也许有人会认为,解决方案(s) pV\ (_ {l 2} \)T2一样出现了固定的解决方案\ (_ {l 2} ^{普尔斯}\)做的T2。特别是,这应该是一个类似的不对称的解决方案有两个漩涡。然而,我们找不到这样一个不对称的定常流动,既不稳定或不稳定。

不同的外观,可以确定在不同流动状态,pV\ (_1 \),光伏\ (_2 \)和光伏\ (_3 \)地区(A和B),图中所示。14。总是检测潜在的最小周期时间,地区,表示\(文本{SNIC} \τ_ \ \)。它与减少显著增加\α(\ \),如在图下(见cf。PSDs讨论。12)。

涡破裂

pV的特点有很大的不同在两个分离地区的A和b区(pV\ (_1 \)),它变化迅速的变化\α(\ \)。为\ \(α(-1.411,0)\ \),无花果。2显示,\ (E_{亲属}\)减少更多的负面\α(\ \)对一个渐近值(流入)。在这里,展示了一个放松的字符类型典型的慢快中子流动态。与相关联的长时间1 / \ \(ω_ {SNIC} \ \文本)(例如,\(文本{SNIC} \τ_ \ \)(图),显然是明显。15)。大约在\α= -1.412 (\ \),极限环失去了频率与涡再生(生成和毁灭),\(文本{SNIC} \ω_ \ \)趋于零,和相关的时期,\(文本{SNIC} \τ_ \ \),成为无限。

图15一个显示的时间序列\ (E_{亲属}\)对光伏\ (_1 \)在三个不同的\(α\ \ \ {-1.411,1,0 \}\)pV,表示时间的增加时间\ (_1 \)。相应的变化与\α(\ \)的\(文本{SNIC} \τ_ \ \)对光伏\ (_1 \)图所示。15b。\α(\ \ rightarrow \α_c \ \)约-1.415从上面,\ \(τ_ \文本{SNIC} \ rightarrow \ infty \)后,\(1 / \√{\α-α_c} \ \)扩展与SNIC分岔^37,38。圆圈表示计算时间,线的形式,\ \(τ_ \文本{SNIC} = a_0 + ai / \√{\α-α_c} \ \)。分岔,创建一个马鞍和节点,通过两条heteroclinic曲线连接形成一个不变的圆,后不再存在分歧。在当前的场景中,系统平稳回落,稳定解,N2,发现后分岔,稳定与股价共存\ (_ {1,2}\);见图。2。

在区域B,稳定的光伏国家之间α\ 0.67 \ leqslant \ \ leqslant 2.05 \)显示更复杂的动力学。在这里,最简单的光伏国家已包括两个不相称的频率描述2-torus解决方案(pV\ (_2 \))。从最大的价值,\(α\ \大约2.02 \)在光伏\ (_2 \),减少\α(\ \),我们发现以下序列。第一次出现PD分叉\(α\ \大约1.46 \)。新增加了一倍的时间在相应的时间序列,清晰可见的PSD\ (E_{亲属}\)提出了在无花果。12b。在不断减少\α(\ \),第三个不相称的频率,\(ω_3 \ \),出现在\(α\ \大约0.98 \),生成3-torus解决方案,pV\ (_3 \)。有趣的是,这个流的周期约为3倍(\(ω\ \大约1/3 \)),一个潜在的基本状态(见图。14)。3-torus最终失去稳定\(α\ \大约0.67 \)当流瞬态恢复到静止的N2状态。

尽管全球动力学是更复杂的,重要的是要理解,类似松弛类型也可以观察到典型的慢快中子动态/预期与减少地区b\α(\ \),相应的pV(双)周期时间\ (_2 \)和光伏\ (_3 \)增加类似于上述行为(\ \(τ_ \文本{SNIC} = a_0 + ai / \√{\α-α_c} \ \))。然而,这主要是定性观察,该地区相当狭窄,使定量分析太复杂。注意的时间序列\ (E_{亲属}\)(\(下午\埃塔_ \ \))和相应的PSDs pV\ (_2 \)和光伏\ (_3 \)在地区B(无花果。12)和更复杂的比光伏明显不同\ (_1 \)地区(无花果。10和15),导致SNIC分岔。

时空地块(图13)、阶段肖像和庞加莱截面(无花果。16)明确强调光伏解决方案的复杂性。然而,关键的分岔序列(例如,PD pV\ (_2 \))\(α\ \大约1.34 \)图中可以看到。14。关于(M)遥控武器站(无花果。4)和T2{普尔斯}\ \(^ \文本),破碎\ (Z_2 \)对称是可见的距离相肖像(灰色),\ \埃塔_ = \埃塔_ + \)。

不稳定的光伏国家

阐明pv和他们的起源,我们继续这个解决方案对于较大的分支\α(\ \)后变得不稳定\(α\ \大约2.07 \)。光伏国家预计会出现的固定方案,T2{普尔斯}\ \(^ \文本)状态,出现T2的状态。对pV,可以推测,这是一个类似的不对称固定解决方案有两个漩涡,就像对称pV出现nV²⁷。单细胞异常模式,A1,候选人通常与N2中发现的直接竞争^26,31日。如前所述,pV州轴对称(即纯\ (m = 0 \)模式);因此,我们继续我们的调查的限制\ (m = 0 \)对称的子空间,这样我们可以效仿不稳定的pv和检测更复杂的水流动力条件。

图17介绍了变异\α(\ \)的动能,\ (E_{亲属}\)段时间,\ \(τ\),因为不稳定的光伏u \ \ (^)解决方案。虽然,对于稳定光伏州(无花果。2),\ (E_{亲属}\)减少与增加\α(\ \),因为不稳定的光伏u \ \ (^)州,\ (E_{亲属}\)表现不同,增加与增加\α(\ \)。最后发现稳定的pV\ (_2 \)状态\(α\ \大约2.07 \)是一个2-torus解决方案(无花果。12(3)和14]。略大的\α(\ \)(在图左边的检测方案。17),水流动力条件作为极限环的解决方案出现,pV\ (^ u_1 \)。我们相信,在减少\α(\ \)第二个鞍碰撞\(α\ \大约2.075 \)频率和传输稳定性,引入第二个不相称的pV从之前的不稳定\ (^ u_1 \)到下一个稳定(在子空间\ (m = 0 \))光伏\ (^ u_2 \)。在另一个方向,从pV\ (^ u_1 \)在\α= 2.1 (\ \)和越来越\α(\ \),第一次经历了PD分叉\(α\ \大约2.74 \)之前的外观不相称的频率\(α\ \大约3.125 \)呈现流(pV\ (^ u_2 \))2-torus不变流形的存在。在一个\(α= ~ 5 \ \),我们检测频率锁定2-torus解决方案,pV\ (^ u_2 \)前,不适应的频率在消失\(α\ \大约5.37 \),再留下一个极限环的解决方案,pV\ (^ u_1 \),在后面。作为\α(\ \)继续增加,pV\ (^ u_1 \)经历了两次落后PD分叉\(α\ \大约5.76 \)和\(α\ \大约6.24 \)之前,最终消失\(α\ \大约9.95 \)和暂时移动到静止状态,N2(垂直箭头在图所示。17较大的一个)。\α(\ \),所有的努力未能遵循pV\ (^ u_1 \),我们不能找到一个不对称固定流(例如A1,单细胞异常模式),既不稳定也不稳定,按照最初的预期。值得提及的是,连接到一个基本的非探测状态并不意味着这样一个连接不存在。通过调查Taylor-Couette系统的各种参数,如。\ (Re_i \),\ (Re_o \),\γ(\ \),\埃塔(\ \),……,我t米一个y allow many different possibilities or connections.

观察到的阻塞现象\(α\ \ \)约5相似性一些frequency-locking现象。在frequency-locking情况下^39,40,41,42,该系统包含两个非零频率,而他们的比率就恒定在某一地区的参数空间(即。共振角)。结果,系统似乎是表现为一个单一的频率,在这里提出。通过出现在2-torus,把相空间解决方案的时刻显示一个曲线特征1-torus极限环解决方案(参见无花果。18和19e)。

图17b说明了不同的底层,\ \(τ_i \)和频率,\ω_i (\ \),光伏\ (^ u_i \)(\(我\ \ {1、2、3 \}\)),因为他们发现在不同的解决方案的变化\α(\ \)。彩色符号在无花果。17指的是不同时期\ \(τ_ {1,2,3,4}\)分别出现在整个周期分岔(PD)翻一番。填充符号显示实际的周期时间\ \(τ_p \)相应的解决方案,而开放的符号说明分叉的还是潜在的半周期时间参数。如图所示为稳定的pV,基本时间\ \(τ_1 \)(频率、\ \(ω_1 \)),对应于一个涡生成和毁灭的时期,存在在所有的解决方案,尽管PSDs(图越来越复杂。19)。

图18显示了相图\((\埃塔_ - \埃塔_ +)\)和相应的二维的庞加莱截面,\ (E_{亲属},\“埃塔”_ -)\),\(1900 \ \埃塔_ + =)选择不稳定的光伏u \ \ (^)(极限环pV\ (^ u_1 \)和2-torus解决光伏\ (^ u_2 \))\α(\ \),如表示。而稳定的pv图的相位图。16,它是那么复杂,因为大多数光伏除外\ (^ u_2 \)在\(α= 4 \ \)代表极限环的解决方案。2-torus状态,pV\ (^ u_2 \),在\(α= 4 \ \)证明了闭环结构的庞加莱截面(无花果。18相图(图b)。。18一)表明,不对称的解决方案。

图19显示相应的PSDs,说明解决方案所涉及的不同频率。PSDs的\ \(\α= 7,6日)和5.5(图。19罪犯)一倍周期从最基本的开始,\ \(τ_1 \)。为α\ 3.125 \ lesssim \ \ lesssim 5.375 \),描述了一个2-torus解决方案有两个不相称的频率,从而导致更复杂的PSD(图。19然而,e)。\(α= 5 \ \),所有的频率都锁到多个年代的基本,\ (n \乘以ω\ _1 \ n \ n \ {} \ \)。

注意,我们尝试一个同样的方法通过限制模拟\ (m = 0 \)对称子空间遵循pVu \ \ (^)州之间的参数范围内稳定地区现有的pV A和b。然而,尽管努力,我们不能发现任何稳定或不稳定的光伏解决方案这些参数。所有模拟最终基本固定N2的解决方案。这使我们推测,要么pv更为复杂的高方位模式,因此,他们的轴对称破坏,或吸引pv的盆地变得非常小和/或碰撞与其他解决方案,导致N2。然而,这个问题不能在这里不能回答,并将未来调查的主题。

此外,对于\ \伽马\ geqslant 4 \),它已经被证明了\ (Z_2 \)对称和轴对称传播pV分叉的稳态解的相应数量nV漩涡²⁷在变化的\ (Re_i \)。为\γ= 4 (\ \)pV,六个传播漩涡出现了固定的解决方案6 n。然而,对于短宽高比系统,\(γ= 1.3 \ \),我们可以得到不同的场景。尽管努力,我们可能无法检测稳定或不稳定的pv和其他固定之间的连接解决方案。相反,pv孤立和稳定出现在不同的断开连接的区域。的主要原因不是检测连接到一个固定的解决方案,这可能是起源于破碎\ (Z_2 \)对称,与pV早期研究的结果²⁷。

流体动力学的基本范式,tcs都已经被广泛地研究过了一个多世纪以来,第一次实验后计算。目前的工作,考虑数值模拟small-aspect-ratio反向旋转的tcs差距,揭示了各种复杂的流解决方案随着径流发生了变化。对于给定参数,没有任何径向流的动力学是由双因子正常模式(N2)之间的竞争和单细胞异常模式的圣淘沙名胜世界(A1)。尽管N2(轴对称,纯\ (m = 0 \)模式)存在稳定的参数范围,调查\(5α\ leqslant \ \ leqslant 100 \)遥控武器站,连同他们的更复杂的表亲,股价,出现在大范围的稳定\α(\ \)中non-axisymmetric, RW和股价\ (m \ ne 0 \)模式。

除了之前所知pv,我们观察到新的轴对称和按时间的解决方案与变化\α(\ \)。这些都是纯脉动流结构(T2{普尔斯}\ \(^ \文本))或传播漩涡(pv),后者有或没有脉动。脉动流结构,T2{普尔斯}\ \(^ \文本)通过超临界霍普夫分岔,静止的一对双胞胎流,T2。N2和T2州轴对称(纯\ (m = 0 \)模式),T2类似于早些时候看到一对双胞胎^31日,它有一个坏了\ (Z_2 \)对称。随着\α(\ \),静止的T2的解决方案进行了一系列的霍普夫分岔与PD分岔,第二个不相称的频率的出现,修改解决方案从一个极限环,T2{普尔斯}\ \(_1 ^ \文本)2-torus T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)。所有解决方案提出了对称反射系统中高跟的退化{T2} ^ \ \((\文本文本{普尔斯}_ {1,2})^ * = K_z {T2} ^ \ \文本文本{普尔斯}_ {1,2}\)。相同的静止状态,T2\ (^ * = K_z \)T2。通常与TCS,次要的出现频率与更高的刺激,non-axisymmetric模式,\ (m \ ne 0 \)²⁶。这并不申请文本\ (T2 ^ \{普尔斯}_2 \)。相反,第二不相称的频率显示为一个调制在主(\(ω\大约\ / 4 \))。在T2\(_2 ^{普尔斯}\ \文本)的变异强度/脉动强度的结果。

对于传播漩涡,我们观察到新的轴对称pv,不同于pv早些时候在文献中讨论^27,28因为他们打破了\ (Z_2 \)对称。这里,发现pv(准)周期解产生的剪切流附近的埃克曼细胞诱导的旋转结束墙壁。之后,这些轴对称涡流传播通过批量从其出生地附近埃克曼系统的细胞向另一端,最终消灭了埃克曼的细胞。因此,pV存在退化数字符解决方案的反射系统,pV\ (^ * = K_z \)pV。此外,与变化\α(\ \),pv可以改变从单纯的传播流结构和演变成传播和振动结构的组合。我们发现pv稳定存在于两个不同的分离参数区域,(α\ -1.411 \ leqslant \ \ leqslant 0.15 \))和B (α\ 0.67 \ leqslant \ \ leqslant 2.05 \))。在这两个地区,流动动力学是由传播漩涡的产生和湮灭;然而,变化的演变\α(\ \)至关重要的是不同的。在地区,pV\ (_1 \)国家出现只有1-torus(极限环)的解决方案,展示典型的慢快中子动力学特点,最终发展成为SNIC分岔。small-aspect-ratio TCS流动,这些观测实验和数值之间的对称2-torus(旋转调制波)和一个对称相关1-torus(旋转波)^25,43,44。典型的对称2-torus马鞍和节点上SNIC分岔的共轭双1-torus(旋转波),而最近,描述了高维SNIC分岔,发生3-torus,留下两个2-torus状态³⁸。地区B,动力学是更复杂的一种内在的第二个不相称的频率出现,导致流状态,pV\ (_2 \)住在2-torus不变流形。此外,随着径流的变化,\α(\ \),我们发现一个倍周期分岔,第三不相称的频率,\(ω\大约\ / 3 \),导致3-torus解决方案,pV\ (_3 \)。

利用轴对称(\ (m = 0 \)模式)限制了子空间在我们的模拟,推出更多复杂的底层流动态,包括通用的PD和霍普夫分岔的场景和frequency-locking极限环和2-torus解决方案。脉动流状态,T2{普尔斯}\ \(^ \文本)、传播漩涡和pv(稳定和不稳定)通过思考提出了对称退化系统数:文本\ ((\ {pV} ^ {(u)} _i) ^ * = K_z \文本{pV} ^ {(u)} _i \),\(我\ \ {1、2、3 \}\)。存在的不适应的频率,它可以出现1 - 2 -和3-torus解决方案,这被称为Ruelle-Takens-Newhouse路线混乱。因此,观察到的分岔情况是Ruelle-Takens-Newhouse路线混乱和周期倍分岔,展品丰富和复杂的动力学。

类似的分岔,包括低维tori甚至奇怪吸引子,已报告在别处与混乱或湍流流动。相信这些分岔对称性破缺或对称性恢复可能扮演重要角色过渡到湍流和湍流状态的一般特征⁴⁵。它也表明,地磁逆转的波兰人可能解释的对称性破SNIC分支,在动荡的环境中⁴⁶。

TCS流动比率在小方面是一个很好的范例研究对称破裂的分岔和更复杂的低维对象,包括不变的花床和流动。特别是,额外的径向流动的研究在狭窄的长宽比系统中增加系统的复杂性对天体物理学的研究很重要。虽然非常专业,这里给出的结果可能会影响阻力减少吸,吸积在天体物理磁盘,或许在地球极地的漩涡流。