中学生对数学应用题的态度

“态度”一词在数学教育中并不是一个新概念。不同的作者在不同的背景和语境中对它有不同的定义。例如，艾肯(1970)将态度定义为“一个人对某些物体、情况、概念或另一个人作出积极或消极反应的习得的倾向或倾向”(第551页)。根据Lin和Huang (2014)，对数学的态度可以被称为积极的，消极的，或中性的感觉和处置。态度可以分为两维(人的情绪和信念)和多维(情感、行为和认知)。在过去的几十年里，来自不同环境和背景的大量研究调查了影响学生对科学、技术工程和数学(STEM)态度的变量(例如，Aiken，1970；加德纳1975；Kempa和McGough，1977)．在这项研究中，我们特别关注学生对数学应用题的态度，特别是线性规划(LP)，因为LP在构建理解数学应用题的模型(STE)中起着重要作用。

许多关于学生对数学的态度的研究已经发表，这总是被翻译为喜欢和不喜欢这门学科(Arslan et al.，2014；达瓦达斯和莱，2020；Pepin,2011；Utsumi和Mendes，2000)．对一些中学生来说，数学似乎是抽象的，难以理解，有时很无聊，而且与日常生活经验的关系或相关性有限。在小学和中学阶段，学生们开始很好，但逐渐开始不喜欢数学，感到不舒服和紧张。因此，他们在解决问题时可能缺乏自信和动力。对于一些学生来说，坚持学习高等数学已成为一场噩梦。事实上，一些学生似乎不知道学习数学的重要性超出了必修水平。如果学生对数学有消极的态度，他们可能会(也可能不会)在课堂环境之外联系数学概念。这可能会导致他们无法积极地将数学知识和技能用于解决社会问题。

数学家们试图研究和理解显著影响学生对数学态度的情感变量(例如，Barmby等人，2008；达瓦达斯和莱，2020；Di Martino和Zan，2011；埃文斯和菲尔德，2020；Grootenboer和Hemmings，2007；Hannula,2002；Maamin等人，2022；马奇,2011；Pongsakdi等，2019；Yasar,2016；Zan等人，2006)．一些研究人员已经提出了一些基本的问题，即学生对数学的态度是一种普遍现象还是取决于一些特定的变量。为此，一些实证研究报告了学生对数学中特定单元或主题的态度，旨在加强特定数学内容和一般数学的学习(例如，Arslan等人，2014；Estrada和Batanero，2019；Gagatsis和Kyriakides，2000；朱利叶斯等人，2018；Mumcu和akta，2015；塞尔扣克,1975；汤森德和威尔顿，2003)．

最近的研究并没有调查学生对数学的一般态度，而是试图找出可能为理解学生对数学的态度提供基础的背景因素。因此，不同学术水平的学生对数学的态度可能是消极的，也可能是积极的，原因是根本不同的。然而，其他研究表明，态度和数学成绩之间存在着积极的关系(例如，Berger等人，2020；Chen等人，2018；达瓦达斯和莱，2020；Grootenboer和Hemmings，2007；黄和孙，2021；Lipnevich等人，2011；妈1997；Maamin等人，2022；马扎纳等人，2018；Mulhern和Rae，1998；Opolot-okurut,2010；睡魔,1980；Tapia,1996)．从以上研究来看，从学生到教师的课堂教学实践等多种因素都可能影响学生对数学的态度和成绩。

在乌干达，关于学生对科学和数学态度的预测因素的研究很少。关于中学生对数学，特别是数学应用题的态度，最近并没有实证研究结果。解决LP任务(通过图形方法)是乌干达11年级初中学生(NCDC，2008，2018)．尽管学生在数学和LP方面面临着普遍和具体的学习挑战，但学习LP的目标嵌入在乌干达初中数学课程的目标中(补充附录)3.)．在乌干达中学学习数学的一些具体目标包括……使个人能够应用所学的技能和知识来解决社区问题，灌输对生产性工作的积极态度……”2018)．一般来说，LP应用题的学习旨在培养学生解决问题的能力、对先验代数概念的应用、知识以及对线性方程和不等式的理解，从应用题和现实世界的问题中编写模型。尽管学习面临挑战，LP的主题也旨在为学习者提供足够的知识和技能，使他们能够在乌干达教育证书(UCE)的11年级(当地称为高中四年级)最低数学水平之外学习高级数学课程。

然而，每学年，乌干达国家考试委员会(UNEB)都会强调学生在UCE之前考试中的优势和劣势。一致的报告(例如，UNEB，2016，2018，2019，2020)的调查结果显示，学生在数学方面的表现并不令人满意，尤其是在优异水平上。特别是从上面的考官报告中可以看出，学生在数学应用题上的表现很差。在考试报告中，我们不断发现许多学生在LP这一课题上的具体不足(详见补充附录)1)．学生在LP课程中的挑战主要来自于对应用题的理解，以及在现实生活中，从给定的应用题中形成错误的线性方程和不等式(二维)。因此，从问题中导出的错误模型可能导致错误的图形表示，从而导致错误的解决方案和对最优解决方案的解释。这些挑战(和其他挑战)可能因此阻碍和/或干扰学生在科学、数学和技术方面的相关模型的构建。此外，学习者在回答LP问题时始终表现出认知障碍，而大多数人在国家考试中通过回答可能是“更简单”的题目来逃避这些问题。值得注意的是，在所有的UNEB报告中，都没有说明学生在学习LP中存在弱点的因素以及克服学生挑战的具体干预措施。然而，一些学生对这个话题产生了消极的态度。然而，学生的态度可能直接影响他们的学习成果(Code et al.，2016)．

尽管一些实证研究结果(例如，Opolot-okurut，2010)报道了中学生对数学的态度，本文提出了一个更具体的调查学生对数学应用题的态度的结果。具体来说，本研究调查了中学生解决线性规划数学应用题的态度。这是因为关于对数学的态度和成绩的研究已经开始从检查一般态度转向对具体学生的态度形成进行更有区别的概念化，并在不同的单元(主题)中进行。尽管不同的态度量表(如Code等)，2016；Fennema和Sherman，1976；Tapia,1996)来衡量影响学生对数学态度的不同变量，本研究专门调查了其中一些构念对学生学习数学态度的影响。根据上述作者(和其他实证研究结果)，学生的态度是一般和具体的潜在因素的结果。

Verschaffel等人(2010)将文字问题定义为“对问题情况的口头描述，其中一个或多个问题提出了答案，可以通过对问题陈述中可用的数字数据应用数学运算来获得答案。”作者根据应用题在现实世界中的情况对它们进行了分类。因此，数学应用题在为学习者提供基本知识、技能以及解决问题和数学建模的理解方面发挥着重要作用。一些实证研究结果(例如，Boonen等人，2016)表明数学应用题将学校数学与现实世界应用联系起来。然而，数学应用题和相关代数概念的学习受学生认知和情感因素的影响很大(Awofala，2014；Jupri & Drijvers，2016；Pongsakdi等，2019)．数学应用题是大多数学生在中学及以后学习障碍的一个领域(Abdullah et al.，2014；Awofala,2014；Dooren等人，2018；古莱特-莱尔等人，2020；朱利叶斯等人，2018；皮尔斯等人，2011；Sa 'ad等人，2014；Verschaffel等人，2010，2020年,一个，2020 b)．相比之下，对数学应用题的理解解释了关系困难。因此，这损害了学生在应用题和数学方面的能力、信心和成就。

然而，数学应用题旨在帮助学习者在课堂之外应用数学来解决现实生活中的问题。Verschaffel等人(2020年,一个，2020 b)和Boonen等人(2016)认为数学应用题对大多数学习者来说都是困难、复杂、难以理解的挑战。这是因为应用题要求学习者理解和应用之前学过的基本代数数学原理、规则和技巧。事实上，大多数学习者发现，在转化为模型之前，很难理解应用题中的文本。这部分是由于他们的理解能力和语言的差异(Strohmaier et al.，2020)．因此，学习者不能写出必需的数学代数符号运算和模型。然而，不正确的模型会导致错误的代数运算，从而导致错误的图形表示和解。

值得注意的是，Meara等人的研究发现(2019)、埃文斯及菲尔德(2020)表明，学生的数学效率低下是由于他们从小学到中学的认识论和本体论的过渡挑战。其他研究(例如，Georgiou等人，2007；Grootenboer和Hemmings，2007；李等人，2018；诺顿1998；谢尔曼,1979；谢尔曼,1980)将学生在数学方面的糟糕表现和成就归因于性别差异。因此，学生可能从小学开始学习数学，但逐渐对某些特定单元失去兴趣，最终对数学整体失去兴趣。就LP的情况而言，如上所述，学生对数学和方程、不等式，尤其是LP的态度可能会逐渐转向其他可能更简单的主题。然而，为了提高数学应用题的表现，古利特-莱尔等人。2020)提出循序渐进的解决问题策略，以加强学生的掌握能力及培养积极的学习态度。

因此，应该调查学生的态度及其对观念转变的影响。一些实证研究也调查了在不同背景下(例如，Bayaga和Wadesango)，在所有层次上对数学的态度和成绩之间的关系，2014；卡马乔等人，1998；Chun和Eric，2011；达瓦达斯和莱，2020；Karjanto,2017；Khavenson等人，2012；奥兹德米尔和奥维斯，2012；Quaye,2015；塞尔扣克,1975；Tahar等人，2010；Utsumi和Mendes，2000；Yáñez-Marquina和Villardón-Gallego，2016)．特别是，这些研究一般集中在学生对数学的态度上，其中许多研究是在西方背景下进行的(Kasimu和Imoro，2017)．然而，学生可能会对数学中的特定内容(主题)有不同的看法和态度，而与他们的设置、背景和学习环境无关。

为了提高数学概念的熟练程度，教育工作者应该针对和/或促进学生在特定数学内容中的认知和情感领域。在相关的类型中，学生对LP单词任务的熟练程度可能在很大程度上取决于他们先前的代数知识、技能和经验。朱利叶斯等人(2018)指出，先前的概念理解加上学生对解决代数概念的态度，影响了学生从应用题中编写关系符号数学模型(不等式)的固有程序，并提供正确的数值解决方案。尽管学生在代数不等式中遇到了许多困难，如Fernández和Molina (2017)、Molina等(2017)、巴齐尼和萨米尔(2004)、Tsamir及Almog (2001)、萨米尔和巴齐尼(2004，2006)，以及察米尔和泰罗士(2006)提出了方法、方法学和策略的组合，而不是应用一种特定的方法。采用这种教学和评估方法可以帮助学生克服学习和相关的代数挑战，这些挑战都是为了加强数学的学习。

本研究基于建构主义的理论框架，Eccles, Wigfield等人提出的成就动机的期望-价值模型(Wigfield，1994；威菲尔德和埃克尔斯，2000)．期望值模型是建立在成就期望值理论基础上的。因此，该理论是基于这样一个前提，即在特定任务中的成功和这些任务中固有的价值观与成绩呈正相关，从而与学生对特定数学任务的态度呈正相关。在对数学清单-短表的态度(ATMI-SF)的背景下，该理论结合动机、享受、信心、价值(有用性)以及相关的潜在变量来解释学生学习数学的成功。建构主义是发现学习的一种形式，它基于这样一个前提，即教师通过积极地让学习者参与学习，以便他们根据个人先前的经验和图式构建他们的世界知识和理解(Olusegun，2015；Ultanır,2012)．因此，以往的知识、理解和对新知识的反思对于支持随后的概念知识和程序知识的学习和获得是不可避免的。这些知识组成部分可以激发学习者对特定数学内容和数学成绩的态度。

我们特别关注学生的努力和坚持，他们在学习LPMWPs时感受到的困难和相关挑战，以及学习者在解决LP单词任务时可能遇到的经验。实证研究结果和我们作为数学教育者的经验表明，学生在LP课程中的挑战很大程度上取决于他们以前的代数知识和应用方程和不等式知识的经验不足。本文运用建构主义范式下的期望-价值模型理论，探讨学生对LPMWPs的态度。使用这一范式有助于解释ATMI-SF结构及其在加强中学数学学习方面的意义。期望价值理论和建构主义被广泛应用于提高数学和科学的学习(Awofala，2014；field - wells等人，2017；梅耶等人，2019；威菲尔德和埃克尔斯，2000；帐篷,2015)．为了培养积极的学习态度，教师(教育者)应该根据学生的学术水平，给他们分配不同的任务，使他们将先前获得的知识、理解和经验应用到后续的学习中。Stein等人(2000)认为学生的熟练程度和能力是由交给他们的数学任务决定的。例如，较低认知阶段(记忆水平)的任务必须与最高认知水平(做数学)的任务不同。在LP学习中，学生首先要理解并适当运用方程和不等式的基本知识，能够充分、熟练地求解非常规的LPMWPs。

线性规划是要求学生在应用计算机软件解决和优化更高级和复杂的LP问题之前，先了解基本数学原理和规则的代数课题之一。线性规划是一个经典的单元，是数学应用题的“兄弟”，在数学、科学和技术中获得了重要的应用(Aboelmagd，2018；Colussi等人，2013；Parlesak等，2016；Romeijn等人，2006)因为这个主题是用来制定模型，将理论与实际的数学应用联系起来。因此，LP提供了基本的基本建模技能(Vanderbei，2014)．

以往的实证研究表明，LP和/或相关概念不仅对学习者来说很难，而且对教学也具有挑战性(Awofala，2014；古莱特-莱尔等人，2020；肯尼等人，2020；Verschaffel等人，2020年,一个，2020 b)．不同的因素解释了学习者在数学应用题中的挑战(例如，Ahmad等人，2010；哈格威尔第等人，2012；Heydari等人，2015)．挑战范围从学生对应用题陈述的理解，以及他们对主题的态度，到他们从概念性知识和理解到程序性知识和理解的转变。因此，学习者解决代数应用题的态度应该在课堂教学中进行调查和整合，以帮助教育利益相关者提供适当的和/或具体的教学策略和补救措施。

已经开发了几种态度量表(包括认知和行为成分)(Lim和Chapman，2013；Yáñez-Marquina和Villardón-Gallego，2016)采用或改编(林和黄，2014)评估学生对数学的态度，以及对具体数学内容的态度。例如，几何姿态量表(Avcu和Avcu，2015)、统计态度量表(Ayebo等，2019；Khavenson等人，2012，对数学应用题的态度(Awofala，2014)、几何态度量表(ATGI)仪器(Utley，2007)，以及其他。在本研究中，我们采用了ATMI-SF仪器(Lin和Huang，2014)，调查11年级学生对LP应用题学习的态度(详见补充附录)1)．综上所述，研究表明，世界各地的教育利益相关者中有很大比例的人特别关注对数学和文字任务的态度。然而，为了充分了解学生对数学的态度，有必要在一般数学态度之外进行调查，并研究这些态度的具体潜在方面。因此，本研究考察学生对解决LP数学应用题的态度。

本研究调查了学生对线性规划数学应用题的态度。为了达到这一目的，采用了定量调查研究设计(Creswell和Plano Clark，2018)．作者认为，定量方法提供了对整个人群参与者观点的更一般的理解。因此，本文采用该方法收集、分析和描述中学生的ATLPWPs、体验和潜在行为。

本研究是一项大型研究的一部分，该研究调查了主动学习启发式问题解决方法对学生学习LP应用题成绩和态度的影响。本研究采用定量方法，对学生ATLPWPs进行更深入和更广泛的了解(Creswell，2014；Creswell和Plano Clark，2018；Djamba和Neuman，2002)．采用准实验前测、后测和非等效对照组研究设计。通过使用所述的方法和设计，研究人员巧妙地比较和对比了学生的ALPMWPs。实验组的学生和他们完整班级的学生参与了实验。采用完整班级的主要原因是避免干扰学校内部制定的时间表和已经制定的运行时间表。

本研究报告的分析包括对来自8所随机选择的私立或公立中学(农村和城市)的851名11年级学生的研究，其中4名来自乌干达东部的Mbale区，其余4名来自乌干达中部的Mukono区。采用整群随机抽样的方法选择地区和学校。抽样学校通过抛硬币的方式分配给实验组和对照组。432名(50.8%)学生被分配到对照组，419名(49.2%)学生被分配到治疗组。来自两个地区的两所学校被分配到实验组。从区域内外两所距离较远的学校选择学生，并将他们分配到治疗组，是为了避免出现虚假结果。在一所特定学校有多个班级(“流”)的情况下，在数据收集时，从该特定学校的不同班级中随机挑选了至少100名学生来回答态度问卷。选择11年级学生作为研究参与者的主要原因是基于课程材料中LP是教授给11年级学生的(参见NCDC，2018)．事实上，在数据收集时，学生们正在准备2019/2020学年的UCE全国考试。学校负责人透露，数学教学大纲中包含LP应用题(补充附录)1)已完成。学生被挑选出来提供他们学习LP应用题的经验和态度。参与调查的851名学生中，359名(42.2%)为男性，492名(57.8%)为女性，平均年龄为18.32岁(S.D. = 0.94岁)。我们预测被试对用图解法解决LP应用题有足够的知识和理解。在参与者匿名和自愿完成改编的ATMI-SF问卷项目之前，将身份证号分配给参与者。

除了人口统计问题，ATMI-SF(林和黄，2014)，采用一份由享受、动机、价值/有用性和自信四个分量表组成的14个条目的工具问卷来测量学生对LP数学应用题的学习态度。ATMI-SF是李克特式的5分制量表，选项从“非常不同意(1)”到“非常同意(5)”。2013)，也从几个数学态度问卷项目中开发和验证(Fennema和Sherman，1976；Kasimu和Imoro，2017；Mulhern和Rae，1998；素数等，2020；Tapia,1996)．ATMI-SF被改编是因为它与LP的学习直接相关，LP是“数学应用题的兄弟”。英语是乌干达中学课程的教学语言，调查问卷项目不需要翻译。问卷内容效度由3位专家(1位数学高级教师、1位数学教育高级讲师、1位教师培训机构导师)评估。这些专家是根据他们在不同学术水平的数学教学方面的丰富经验挑选出来的。专家们进一步评价了改编后的问卷项目的适当性和相关性。根据他们的建议、建议和意见，对部分问卷项目进行了调整，以适应学生的学术水平和语言，以充分衡量学生的ATLPMWPs。

为了充分实施主动学习启发式问题解决策略，来自治疗组的教师接受了培训。首先，回顾学生对方程和不等式的基本概念知识，以及基本代数原理和理解，将以前的概念与LP的学习联系起来。其次，运用多种学习材料，帮助学生充分掌握概念。这些材料包括图表、网格板、excel和GeoGebra软件的使用。这些策略进一步与解决问题的策略(Polya，2004)，确保学生理解LP应用题，设计方案，充分执行方案，最后回顾验证解决方案草图和程序。为了确保学生最大限度地减少错误和误解，LP的学习进一步与Newman Error Analysis (NEA)模型提示相结合。教师强调问题的阅读和解码、理解、转化、过程技能和编码，培养学生对LPMWPs的积极态度。

ATLPMWP问卷是由学生在各自学校的自然教室环境中完成的。11年级学生平均最多在20分钟内完成了这项研究。该调查包含一个“过滤声明”，作为社会可取性回应(SDR)，以核实和丢弃受访者的问卷，特别是那些没有阅读的问卷(见补充附录第15项)1)或完成问卷调查项目(Bäckström和Björklund，2013；拉特金等人，2017)．本研究获得了所有参与者的书面同意，参与本研究完全自愿和保密。在完成问卷时感到不舒服的参与者不会受到惩罚。数据是在从抽样学校中挑选的数学部门负责人的帮助下收集的。在管理和/或填写问卷项目之前，向参与者解释了研究的目的。在首席研究员、研究助理和一些选定的学校管理人员在场的情况下，参与者完成并返回了所有的问卷。除了问卷项目的管理外，还采访了12名部门负责人和24名学生(来自每个抽样学校的一男一女)，以将收集到的数据联系起来，试图充分评估LP字谜的学习。采用描述性统计和推理统计方法对采集到的数据进行背景特征分析。数据分析使用社会科学统计软件包(SPSS 26版)。此外，在必要时，摘录被用来对学生的ATMWPs做出判断，以及这是如何影响数学和LP的学习和成就的。

ATLPMWP量表的心理测量特性

采用IBM SPSS (version 26)软件包进行分析。初步统计分析显示，没有证据表明由于少数病例而导致数据丢失，这些病例被忽略了，因为它们不超过样本病例的5% (Barbara和Tabachnick，2001；克莱恩雷克斯,1998；Lim和Chapman，2013)．然而，在分发的885份问卷中，有31份问卷被删除，因为参与者不符合SDR (Bäckström和Björklund，2013；拉特金等人，2017)或资料不完整。进行单因素分析以检查正常程度(Hair et al.，2010；Pallant,2011)．偏度和峰度指标均在可接受范围内(分别为±2和±7)(Byrne，2010；Curran等人，1996；毛发等。2010)．因此，数据是相当正态分布的(表1)．探索性因子分析使用从研究样本之外的215名学生收集的初始试点数据来检查项目之间的相关性。ATMI-SF量表项间均值大多低于3.0;这表明学生普遍对ALPMWPs持消极态度。然而，通过浏览数据，项目的心理测量平均分仍然证实和表明，无论学校类型和地点，大多数学生(男女)对学习LP应用题的态度是消极的(尽管他们同意和考虑LP是有用的)。

通过因素分析确定因素结构。主成分(方差)分析用于显示相互关系(Tabachnick，2001；Pallant,2011；Pituch,2016)．特征值大于1的4个构造占总方差的55.89%。所有项目都显著地装载了四个因素(享受:0.91，动机:0.89，价值/有用性:0.94，自信:0.95)p分别< 0.05)。所获得的值与先前的实证结果一致(见Lin和Huang，2014Awofala,2014)．采用Kaiser-Meyer-Olkin抽样充分性检验(KMO)和Bartlett球度检验。在我们的分析中，KMO值为0.71 > 0.60,Bartlett’s Test值显著(X²(760) = 13792.55，p< 0.005)表明数据中存在实质性的相关性，且拟合可接受(Nunnally和Berstain，1994Pallant,2011)．根据上述建议，所有项目都被发现是可接受的，具有足够的构念效度、内部一致性和同质性。总体而言，这些项目被认为适合用来衡量中学生的atlpwp。

表1而且2显示描述性统计数据(平均值、标准偏差、偏度和峰度)。重要的是要注意学生在测试前和测试后在ATMI-SF问卷上的分数。结果显示，两组在前测和四个量表(乐趣、动机、有用性和自信)上没有显著差异。事实上，实验组和对照组在预测试过程中表现相似。然而，由于对实验组学生的干预，学生的ATLPWPs有轻微的变化(表2)3.)．然而，研究结果表明，学生普遍对学习LP应用题持消极态度。这些发现与其他研究是一致的(例如，参见Awofala，2014)．因此，LP应用题和相关数学概念的学习应采用多种解决问题的技巧，以促进学生的理解和态度。

从表中的相关矩阵4由此可见，大多数项目间的相关性都很低。这表明收集到的数据显示了学生对LP应用题的消极态度。学生的反应可能揭示了LP学习的内在特征。这些发现与UNEB关于以往学生在LP主题上表现的年度报告没有任何不同。从资深教师那里收集的关于为什么学生在内部和国家考试中回避LP问题的额外定性数据证实了我们的调查。

结果发现，学生的ATLPMWPs与年龄之间没有显著的统计学差异(表2)5)，性别(表6)、学校地点(表7)、学籍(表8)，以及学校所有权(表9)．

本研究旨在调查乌干达11年级学生对LPMWPs的态度。改进后的ATMI-SF仪器的心理测量特性是可以接受的。我们对学生学习LP和相关数学应用题的动机、信心、有用性和乐趣感兴趣。这是通过主成分因子分析确定的四个主要可靠的潜在维度，以解释学生对LPMWPs的潜在态度。首先，两组(对照组和实验组)学生对LPMWPs的态度与学生的年龄、性别、学校地位或学校地点无关。这些研究结果表明，学生对LPMWPs普遍持否定态度。然而，Arslan等人。2014)表明态度与解决问题之间存在显著正相关关系。

虽然学生的评分低于中立态度(见表)2)，显示LP在日常生活中的实用性。实验组对LP应用题表现出略好的态度(表1)3.)，因为与传统LP学习的对照组学生相比，采用了主动学习启发式问题解决教学。在这项定量研究中，没有对一些学生和教师进行面对面的访谈。然而，与我们互动的一部分学生透露，LP概念更具有启发性，需要先验的概念知识以及对方程和不等式的理解，与其他数学主题相比，这些问题并不有趣。我们的发现与Chen et al. (2018)，他假设积极的态度会影响早期的职业表现。

所提供的解释表明，有些教师为了迎接国家考试而匆忙教授这一课程，有些则完全避免教授这一课程。这意味着教师没有充分运用教学技术和合适的学习材料，向学生充分解释LP的概念。然而，我们观察到，教师鼓励学生不断地从应用题陈述中练习模型形成，以去神秘化学生难以概念化的LP应用题的消极信念。消极的信念限制了学生的理解，从而使学生对主题产生恐惧，从而对LP学习产生消极的态度。然而，实验组学生对LP的态度与对照组相比略有改善，对照组学生在干预前后对LP的态度几乎相同。

来自实验组和对照组的参与者承认LP是一个具有挑战性的主题，尽管他们高度认识到其在构建模型和开发模型以优化现实场景中的意义。LP的重要性在于它的应用，因此教师的任务是帮助学习者发展一种积极的态度，以及他们的概念理解，以便他们能够有洞察力地推理，逻辑地思考，批判性地思考，连贯地思考。教师运用教学策略的能力有助于实验组学生对LPMWPs有更深更广的洞察力、概念性和程序性的理解、推理能力和积极的态度。正如Mazana et al. (2018)指出，态度方面(动机、信心、价值、增加焦虑和享受)可以促进学生的学习，从而提高成绩。然而，对照组在常规教学中仍然认为LP是最难的话题之一。正如大多数学习者的ATMI-SF问卷调查结果所示，在这一特定的学生群体中观察到消极的态度。

因此，教师认识到，努力学习和应用先验概念知识和理解，有助于学生培养积极的态度，并取得更好的成绩。一般来说，学生似乎没有充分发展逻辑思维和推理的知识，基本的和先前的LP概念，以帮助学习LP。除了通过UCE的国家考试，他们没有从更广阔的角度来看待LP的学习。本研究的结果可能为教育利益相关者评估学生的atlpwp提供信息，并提供补救和干预策略，旨在改变学生对学习LP和相关主题的态度。这将进一步作为一个镜头来检查学生的成绩和他们对学习特定数学概念的态度之间的关系，作为学生在学习LP字谜和数学方面的信心、动机、有用性和乐趣的指标。

研究结果还指出了一些重要的问题，并可能为教育利益相关者在培养早期积极的数学态度方面提供见解，旨在调查学生在小学到中学数学的特定主题上的挑战。这可能是一个潜在的策略，应用不同的主动学习启发式解决问题的方法和方法，以显著提高学生的态度和表现。主动学习启发式解决问题的方法很可能支持教师之间和学生之间在学习过程中的协作和讨论。研究结果表明，实验组的大多数学生在小组和个人中进行了合作，因此在观念和态度上发生了变化。同学们在同伴教学中相互帮助和指导，从而提高了他们的态度。Asempapa指出(2022)，如果教师采取适当的教学策略，强调个别学生的学业差异，便可改变学生对LPMWPs的态度，从而提供学业和社会支持。

因此，表现差的学生获得了概念上的理解、士气和解决问题的策略，从而形成了积极的学习态度。这进一步提高了学生对数学特别是LP的学习和态度。此外，实验组采用的主动学习启发式问题解决方法提高了学生回答常规和非常规LP问题的信心。学生对理解LP应用题和尝试回答LP问题的恐惧降低。此外，启发式问题解决方法提高了学生对LPMWPs的态度。学生们积极参与解决问题。这逐渐建立了他们学习LP和相关概念的动力、能力和信心。这普遍且显著地培养了学生对LPMWPs的积极态度。

本研究的局限性和未来的研究方向

本研究的目的是探讨学生对LPMWPs的态度。研究结果为引入LP支持高等数学学习的基本概念提供了初步的见解。我们的主要观察结果是，目前的研究涉及两个地区(乌干达东部和乌干达中部)的学校，并且该研究是在两个地区(Mukono和Mbale)进行的。然而，乌干达至少有120个地区。因此，样本可能不能充分代表所有11年级的乌干达学生。今后的研究应考虑纳入所有地区的抽样学生。虽然定量研究对于在社会科学研究中产生可靠和全面的数据是重要和有价值的，但必须承认其局限性。对数据收集和分析方法进行三角测量可能会产生更多的结果。因此，我们建议在不同或类似的环境和背景下，在不同的数学主题(内容)中，使用不同的方法进行未来的研究，以比较和对比我们的发现，并获得更深入和更广泛的见解，了解学生对LPMWPs的态度。

学生的态度指向了与人口统计学变量和学习数学的潜在结构相关的问题。具体而言，为了获得更深入的了解，本研究建议未来的研究者应该使用访谈和观察等定性方法，为学生学习LP的经历提供更多的证据。教师对LPMWPs的态度也是一个有待进一步研究的领域，旨在提高教学策略、教学内容知识和数学教学知识。为实现这一目标，教师的专业发展规划应强调学习LPMWPs的内容知识和教学内容知识。老师们聚在一起分享学习经验和策略，可以提高学生对学习LP的态度，以及其他相关但具有挑战性的话题。事实上，教师需要持续的常规专业发展支持来成功地实施学习活动。尽管有一些局限性，本研究补充了其他实证证据，以支持提高学生学习数学应用题的态度，特别是LP。